[TS+] Espace et surface - Exo pour vous

[mx6]

Bonjour ,

Je propose cet exercice aux terminales spécialistes en mathématiques. Bien sur, les autres niveau supérieur, peuvent donner une réponse, mais en SPOILER.
Vous n'êtes pas obligés d'avoir fait le cours sur les surfaces en spé maths, car vraiment ça n'aide pas....

Voici l'énoncé :

On crée une surface de la manière suivante :
Tout d'abord dans le repère , on trace la fonction , puis on fait "tourner" la courbe obtenue sur l'axe . On obtient une surface.
Donner l'équation de cette surface en fonction de .

Je donne un exemple, pour vous aider.
Si j'ai , j'obtient une surface de cône d'équation

Je rappelle, vous n'avez pas besoin de connaitre les surfaces d'un cône, cylindre, ect pour résoudre cet exercice.

Bonne chance
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[tuan]

...
Je donne un exemple, pour vous aider.
Si j'ai , j'obtient une surface de cône d'équation

Fais-tu exprès pour brouiller les autres... ? Pourquoi "lambda" ? Ca tombe du ciel ?

[mx6]

Ah oui excusez moi, il n'y a pas de lambda

tuan si tu as la réponse, peux tu la poster en spoiler, pour vérifier ?

[tuan]

Ah oui excusez moi, il n'y a pas de lambda

tuan si tu as la réponse, peux tu la poster en spoiler, pour vérifier ?

Bonjour à tous.
Euh... je n'ai jamais posté en spoiler... J'vais essayer...

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seulement un indice pour le cas où mon essai foire : le plan (x,z) n'est autre qu'un plan "méridien" parmi tant d'autres, l'équation de la "courbe génératrice" dans ce plan garde la même forme dans tout autre plan "méridien"

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2220c077]

Yo,

Soit notre courbe. Alors la surface engendrée par la rotation de la courbe par rapport à (Oz) a pour représentation paramétrique :

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[mx6]

Tout les deux faux !
Zweig pourquoi tu cherches l'équation paramétrique ? Faut pas aller loin!

Indice :

Quand vous tournez votre courbe, une chose reste constante !

[Romain-des-Bois]

Bonjour,

il manque quand même une (des) condition(s) sur :
- au moins l'injectivité pour que la surface soit bien définie (ou alors, on peut choisir le plus petit rayon par exemple),
- ensuite, il vaut mieux restreindre à ou alors avoir paire ou impaire...
- la surjectivité - mais on peut s'en passer, en considérant

Bref, avec ces conditions supplémentaires :

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On peut donc supposer bijective de dans , alors l'équation de la surface est donnée par :

Romain

[mx6]

Moi je dirais tout simplement :

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Vérification par l'exemple présenté au debut :
Si alors . On trouve le résultat.
Démonstration:
Soit M un point de la courbe de f, on remarque que OM= constant.

Tu as raison pour tes conditions initiales, si la fonction est impaire ou paire, on ne ferait qu'un demi tour

[Romain-des-Bois]

Ta réponse est la même que la mienne, sous l'hypothèse de bijectivité de .

Mais finalement, on n'a pas besoin de l'injectivité... et alors seule ta réponse est correcte (considérer la réciproque n'a de sens que si est bijective).

[tuan]

Tout les deux faux !
Zweig pourquoi tu cherches l'équation paramétrique ? Faut pas aller loin!

Indice :

Quand vous tournez votre courbe, une chose reste constante !

Hé ho calmoss !

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Si je considère un plan méridien quelconque, son axe qui prend la place de l'axe x est x' et on a x' =sqrt(x2+y2) et on obtient bien l'équation de la surface de révolution

[mx6]

En faite tuan, désolé si j'ai jugé rapidement, mais je ne comprend pas ton raisonnement avec les plans méridiens. De plus dans ta réponse, je ne vois ni z, ni f qui est notre fonction considérée. Peux tu être plus clair ou précis?

[tuan]

En faite tuan, désolé si j'ai jugé rapidement, mais je ne comprend pas ton raisonnement avec les plans méridiens. De plus dans ta réponse, je ne vois ni z, ni f qui est notre fonction considérée. Peux tu être plus clair ou précis?

Oh pas grave du tout, tracasse !

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- le plan (x,z) est disons le plan méridien principal (l'équation de la génératrice est z=3x)
- je tourne (mentalement) ce plan autour de l'axe z, l'axe x devient x', l'abcisse x devient une "distance" x' = sqrt(x²+y²) (Pythagore).
- je me place dans ce plan (x',z), l'équation devient z=3x'...
d'où z = 3sqrt(x²+y²)
ou z² = 9(x²+y²)

[mx6]

Oui tuan, maintenant c'est bon !

Voici une démonstration plus détaillée :

Soit une fonction définie sur dans la plan , et sa courbe représentative.
Soit un point appartenant à . Lorsqu'on tourne la courbe autour de , la distance reste constante, c'est à dire la distance de tous les points M décris par la rotation ont la même distance par rapport à l'axe . Soit cette distance. Alors la surface créée a pour équation . Par un petit dessin, on voit bien d'après le théorème de Pythagore que . Ce qui conclut.