volume d'une sphere

[invite986aee48]

Bonjour !

J'ai un DM à faire sur les intégrales et je bloque sur un exercice concocté par ma prof.
Alors voila : il s'agit d'une sphère de centre O coupée en I par un plan horizontal. Le rayon de la sphère est R et la hauteur qui sépare le point I du sommet S est h. Par conséquent, la distance OI =R-h.

Il faut démontrer que le volume de la calotte est V = 1/3pi h (3R-h)

J'ai essayé avec une intégrale ce qui a donné :
Vc =(de R-h à R) pi R^2(t) dt

Je trouve
Vc = 1/3pi [R^3]entre R-h et R

ça me fait finalement Vc = pi/3 (3R^2h-3Rh^2-h^3).
Donc ça ne marche pas. Ou est la faute ? Comment faire ?

Merci d'avance pour votre aide..
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[invite57a1e779]

Bonjour,

J'ai essayé avec une intégrale ce qui a donné :
Vc =(de R-h à R) pi R^2(t) dt

Je trouve
Vc = 1/3pi [R^3]entre R-h et R

Combien vaut le rayon ? La fonction ne se primitive pas en ...

[invite986aee48]

euh. bah ça se primitive comment alors ?

[invite57a1e779]

euh. bah ça se primitive comment alors ?

Il faut déjà répondre à la question : combien vaut ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite986aee48]

R(t) ? je ne sais pas je n'ai pas de valeurs numériques

[invite57a1e779]

Que représente dans ton intégrale ?

[invite381520c5]

la réponse que vous tenter de demontrer est erronée.

en effet on vous demande de trouver un volume donc la dimension de la réponse est R^3.

la réponse que vous tentez de trouver a une dimension de R^2.
il y'a peut être lieue de revoir l'énoncé.

[invite986aee48]

oups c'est exact dans mon énoncé je dois trouver : V = 1/3 h^2(3R-h).

ALors si je calcule le volume V1 de la demi-sphère, j'obtiens logiquement V1 = 2/3 * piR^3.
Il faut alors que je soustraie à cela l'intégrale de 0 à R-h de la fonction f(t) = pi r^2(t) avec r comme rayon du disque formant l'intersection du plan et de la sphère.

Mais comment fait-on l'intégrale de f(t)dt ? comme r est une fonction du temps, je dois exprimer r selon t pour intégrer ? ou alors F(t) = 1/3 *pi r^3 de 0 à R-h, c'est à dire que F(t) = 1/3 * pi(R-h)^3 ? mais je ne peux pas remplacer t puisqu'il n'est plus dans l'égalité...

Bref, comment faire ?

[invite57a1e779]

Il faut alors que je soustraie à cela l'intégrale de 0 à R-h de la fonction f(t) = pi r^2(t) avec r comme rayon du disque formant l'intersection du plan et de la sphère

Je ne vois pas vraiment comme un temps, mais comme l'altitude du plan par lequel tu coupes la sphère.
Il te faut calculer en fonction de par le théorème de Pythagore.

[invite986aee48]

r^2 = R^2 - t^2
et après j'intègre pi (R^2-t^2) et je soustrais le volume d'une demi sphère, mais je trouve un truc foireux qui ne s'annule pas comme il faut.

[invite57a1e779]

j'intègre pi (R^2-t^2) et je soustrais le volume d'une demi sphère

Pourquoi soustraire le volume d'une demi-sphère ?

[invite986aee48]

génial ! mille mercis !