Equation logarithmique et solution analytique

[Seirios]

Bonjour à tous,

Je me demandais si l'on pouvait trouver une solution à l'équation par une méthode autre que numérique (sinon il est possible de prouver qu'il existe une solution unique et d'en obtenir une valeur approchée par le théorème de la bijection).

De manière plus générale, comment peut-on savoir si l'équation peut être résolue, ou non, par une méthode analytique ?

Quelqu'un pourrait-il me renseigner ?

Merci d'avance
Phys2
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[mx6]

Je ne sais pas que veut dire "analytique" pour toi, on utilise ce terme plutôt plus en physique (résoudre analytiquement <=> en décomposant).

Je peux prouver que cette équation admet une solution (au moins) sans le théorème de bijection.
Ton équation équivaut à . Or la fonction en , on a , et elle est strictement croissante et continue sur . De plus on sait que pour tout , . Donc cette équation admet au moins une solution.

[mx6]

J'ai oublié de rajouter que est continue, et admet comme asymptote horizontale . Sinon mon raisonnement ne sera pas vraiment vrai !

[invited78e0bbb]

je pense mx6 que tu n'as pas compris ce que phys2 veut dire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[phryte]

Bonjour.

comment peut-on savoir si l'équation peut être résolue, ou non, par une méthode analytique ?

ln(x)=-x
x=exp(-x)
pour x petit : x~=1-x
il y a une solution x ~=1/2

[sylvainc2]

La fonction W de Lambert est utilisée pour résoudre ce genre d'équation: f(x)*exp( f(x) ) = k --> f(x)=W(k). Ton équation est équivalente à: x*exp(x) = 1, donc x = W(1) = 0.5671432904097838... Cependant, pour l'évaluer, il faut utiliser une méthode numérique (comme pour la plupart des fonctions d'ailleurs) alors je ne sais pas si tu peux la considérer comme analytique.

[Seirios]

Merci de ta réponse, c'est une fonction que je ne connaissais pas !

[Arkangelsk]

Bonjour,

De manière plus générale, comment peut-on savoir si l'équation peut être résolue, ou non, par une méthode analytique ?

Quelqu'un pourrait-il me renseigner ?

Bonne question . C'est loin d'être évident et je ne pourrai te répondre que partiellement. Il faut chercher du côté de la théorie de Galois : Théorie de Galois.

Par exemple, Galois a généralisé des travaux antérieurs et a donné une condition nécessaire et suffisante pour l'existence d'une expression par radicaux des racines d'un polynôme. Voir paragraphe sur la théorie des équations algébriques ici.