Démonstration forme canonique et Cos(Pi/4)

invite43fa3b15 · 26/04/2009, 01h46

Bonjour tout le monde, je suis nouveau sur le forum et j'espère trouver les réponses à mes questions ^^
Premièrement, Par rapport à la forme canonique de $P(x) = ax^2+bx+c$
J'ai compris les premières étapes, mais une chose me chiffonne à se niveau la, lorsque :
$P(x) = a[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}]$
Si j'ai bien compris, il faut mètre $\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}$ sous le même dénominateur, donc on multiplie le numérateur et le dénominateur de $\frac{c}{a}$ par $4a$ ce qui donne $\frac{4ac}{4a^2}$ .
Ensuite on a $\frac{b^2}{4a^2}+\frac{4ac}{4a^2} = \frac{b^2+4ac}{4a^2}$ .
Et donc : $P(x) = a[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2+4ac}{4a^2}]$ . Ce qui me gêne c'est le signe entre $b^2$ et $4ac$ parce que $\Delta = b^2-4ac$ et non pas $b^2+4ac$ ....
Désolé, ma question est bête mais je trouve vraiment pas l'erreur... alors si vous pouviez m'aider... sa serai simpas

Sinon mon autre question, il y a une erreur dans mon calcul du $cos(\frac{\pi}{4}$ voici ma démonstration :
Soit C un cercle de centre O et de rayon R=1
Pièce jointe 76099
(désolé pour l'image c'est pas extra, c'est moi qui l'ai fait)
Donc soit :
$[DC] = sin(\frac{\pi}{4})\\<br /> [BD] = cos(\frac{\pi}{4})$
$On\,a\,: \,\,\,\,\,\, (L'arc\, de\, cercle\, DA) = \frac{\pi}{4}$
$Or\,:\,\,\,\,\,\,\,(L'arc\,de\cercle\,DA) = \widehat{AOD}\times R$
$Donc\,:\,\,\,\,\,\,\,\, \widehat{AOD}=\frac{L'arc\,de\cercle\,DA}{R}= L'arc\,de\,cercle\,DA=\frac{\p}{4}rad=45deg$
$De\,plus\,:\,\,\,\,\,\,\, \widehat{ODC}+\widehat{AOD}+ \widehat{OCD}=180deg$
$\Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \widehat{ODC}=180-\widehat{AOD}- \widehat{OCD}=180-45-90=45deg$
$Donc\,:\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\widehat{ODC}=\widehat{AOD}$
$Donc\, DOC\, est\, un\, triangle\, rectangle\, isocele\, donc\, :\, [DC]=[BD]\Leftrightarrow sin(\frac{\pi}{4})=cos(\frac{\pi}{4})$
$De\, plus\, on\, a\, :\, cos(\frac{\pi}{4})^2+sin(\frac{\pi}{4})^2=1 \Leftrightarrow 2cos(\frac{\pi}{4})^2=1 \Leftrightarrow cos(\frac{\pi}{4})^2=\frac{1}{2}\Leftrightarrow cos(\frac{\pi}{4})=\sqr{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqr{2}}=\frac{\sqr{2}}{2}\,\,\,\,\, CQFD$
Seulement, a cette étape : $cos(\frac{\pi}{4})^2=1$ on peut dire :
$cos(\frac{\pi}{4})=-\sqr{\frac{1}{2}}=-\frac{\sqr{2}}{2}$ . Mais cela est faux.
J'aurai bien aimé que vous me disiez quelle est la faille dans mon raisonnement.
Merci d'avance

**Seirios** · 26/04/2009, 08h21

Envoyé par Ryanthewidzard

Ce qui me gêne c'est le signe entre $b^2$ et $4ac$ parce que $\Delta = b^2-4ac$ et non pas $b^2+4ac$ ....
Désolé, ma question est bête mais je trouve vraiment pas l'erreur... alors si vous pouviez m'aider... sa serai simpas

En fait tu as : $\frac{4ac}{4a^2}- \frac{b^2}{4a^2}= \frac{4ac-b^2}{4a^2}= - \frac{b^2-4ac}{4a^2}$ .

Seulement, a cette étape : $cos(\frac{\pi}{4})^2=1$ on peut dire :
$cos(\frac{\pi}{4})=-\sqr{\frac{1}{2}}=-\frac{\sqr{2}}{2}$ . Mais cela est faux.
J'aurai bien aimé que vous me disiez quelle est la faille dans mon raisonnement.

Je n'ai pas regardé tout ton raisonnement, mais tu peux imposer un cosinus positif en notant que tu dois avoir $\sin \left( \frac{\pi}{4} \right) >0$ .

invite43fa3b15 · 26/04/2009, 11h03

Okayyyy, merci beaucoup, vraiment merci, sa faisait un moment que je bloquais sur cette forme canonique, en faite c'était simple.
Sinon pour $Cos(\frac{\pi}{4})$ c'est dommage que mon image ne marche pas encore et j'aurais bien aimé prouvé par le calcul que $Cos(\frac{\pi}{4})>0$ , je me dit juste que si j'avais été le premier a demontrer que le $Cos(\frac{\pi}{4})=\frac{sqrt{2}}{2}$ , et qu'on me demandais pourquoi $Cos(\frac{\pi}{4})\neq-\frac{sqrt{2}}{2}$ ...ben je ne saurais pas comment répondre, donc c'est pas encore vraiment prouver...
En tout cas merci beaucoup de m'avoir aider, j'espére juste une réponce un peu plus précise pour le $Cos(\frac{\pi}{4})$ . Merci

**Seirios** · 27/04/2009, 13h30

Envoyé par Ryanthewidzard

Sinon pour $Cos(\frac{\pi}{4})$ c'est dommage que mon image ne marche pas encore et j'aurais bien aimé prouvé par le calcul que $Cos(\frac{\pi}{4})>0$

Essaye plutôt de reposter ta pièce jointe en utilisant la fonction pièce jointe du forum ; dans ce cas, un message s'affichera aux modérateurs, qui pourront te la valider.

Sinon, pour montrer par le calcul que $\cos \left( \frac{\pi}{4} \right) >0$ , tu peux toujours faire une étude de la fonction sur $[0; \frac{\pi}{2} ]$ .

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