Suite

[invited10fa908]

Bonjour!
Je dois déterminer si une suite diverge ou converge. la suite est

(1-(3/n))^n

La réponse est (e^-3) mais je n'y arrive pas...
Quand je fais la limite quand n-->infini, je n'obtient pas du tout la réponse.

Quelqu'un aurait une idée ??
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[invitec6946ef0]

Bonsoir,

Je trouve lim 1 - 3/n quand n -> +oo = 1 par valeurs négatives,
Et donc lim (1 - 3/n)^n quand n -> +oo = 0

[invited10fa908]

Bonsoir

Le problème c'est qu'on a une forme indéterminée 1^(infini) car lim n->infini (1- 3/n) = 1, donc 1^n = 1^infini.
Je dois lever l'indétermination, mais je n'y arrive pas...

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Bonjour!
Je dois déterminer si une suite diverge ou converge. la suite est

(1-(3/n))^n

La réponse est (e^-3) mais je n'y arrive pas...
Quand je fais la limite quand n-->infini, je n'obtient pas du tout la réponse.

Quelqu'un aurait une idée ??

Est-ce que tu peux poser X=-n/3 ?
Ne reconnaîtrais-tu pas une limite en X connue ?

Duke.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited10fa908]

Pourquoi - n/3 ? Je n'ai pas ce terme dans ma suite de départ... O_o

[invitec6946ef0]

Je ne vois pas pourquoi c'est une forme indeterminée Oô

[invited10fa908]

Ça y est j'ai trouvé! Heu oui c'est une forme indéterminé car on a 1 exposé à l'infini, qui est une forme indéterminée:
lim(n--> infini) (1- 3/n)^n = 1-(3/infini) ^ infini = (1-0)^inifini = 1^infini

J'ai retrouvé comment lever l'indétermination:
On pose y = ln((1-3/n)^n)
on trouve lim(n-->infini)(n*ln(1-3/n))
On a une forme infini*0
on met n au dénominateur:
lim(n-->infini) (ln(1-3/n) / (1/n)) On a infini/infini, on applique la regle de HOSPITAL

donc on dérive et on trouve
lim(n-->infini) (-3 / (1-3/n)) = -3

notre réponse finale, puisqu'on a passé en ln, se retrouve à etre

e^(lim y ) = e^(-3)

=)
Joie !

[Thorin]

Je ne vois pas pourquoi c'est une forme indeterminée Oô

as tu dans ton cours un théorème qui donne la limite de quelque chose qui tend vers 1 à la puissance quelque chose qui tend vers l'infini ?
si ce n'est pas le cas, alors, c'est une forme indéterminée.

Le raisonnement à suivre est que toute forme est indéterminée si on n'a pas explicitement un théorème qui permet de la lever.

[invited10fa908]

as tu dans ton cours un théorème qui donne la limite de quelque chose qui tend vers 1 à la puissance quelque chose qui tend vers l'infini ?
si ce n'est pas le cas, alors, c'est une forme indéterminée.

Le raisonnement à suivre est que toute forme est indéterminée si on n'a pas explicitement un théorème qui permet de la lever.

Je viens tout juste d'appliquer les théorèmes nécessaires pour lever les inderminations rencontrées... =)
Mon raisonnement est-il correct ??
Car j'arrive à la bonne réponse...

[Duke Alchemist]

OK...

Avec mon changement de variable, j'avais :
(1+1/X)^-3X = [(1+1/X)^X]^-3

Et la limite en -infini de ce qui est dans le crochet, c'est e d'où le résultat.

Duke.

[Thorin]

Je viens tout juste d'appliquer les théorèmes nécessaires pour lever les inderminations rencontrées... =)
Mon raisonnement est-il correct ??
Car j'arrive à la bonne réponse...

c'est correct, à condition que tu aies effectivement le droit d'appliquer la règle de l'hospital.

[invitec6946ef0]

as tu dans ton cours un théorème qui donne la limite de quelque chose qui tend vers 1 à la puissance quelque chose qui tend vers l'infini ?
si ce n'est pas le cas, alors, c'est une forme indéterminée.

Le raisonnement à suivre est que toute forme est indéterminée si on n'a pas explicitement un théorème qui permet de la lever.

Mais si c'était qlq chose qui tend vers 1 par valeurs positives puissance +oo, ça aurait forcément pour limite +oo non ?
J'avoue que j'ai du mal à comprendre ... =/

[invited10fa908]

Bahh dans mes notes de cours, j'ai que (1^infini) c'est une forme indéterminée. Mais si on tend vers 1 par des valeurs positives, alors la je dois avouer qu'on a jamais été confrontés à ca cas dans mes examens. Mais selon moi ca reste une FI car quand on a par exemples sin(x) quand x-->0+ on dit tout de même que c'est égal à 0....je ne sais pas si c'est clair...O_o

[Thorin]

Mais si c'était qlq chose qui tend vers 1 par valeurs positives puissance +oo, ça aurait forcément pour limite +oo non ?
J'avoue que j'ai du mal à comprendre ... =/

et bien je te propose de taper la fonction (1+(1/x))^x dans ta calculette, et de regarder le graphe, tu verras toi meme que ça ne tend pas vers l'infini ni vers 0 ni vers 1

[Duke Alchemist]

Et pourtant est une forme indéterminée.
Cela ne semble pas évident au premier abord mais je l'avais vu en première à l'époque, même si on n'était pas souvent tombés dessus en exo.

Je viens de voir qu'elle n'apparaissait pas dans wikipedia

[invited10fa908]

Moi non plus je ne trouve pas évident d'y penser a tous les coups. Et j'ai même foiré un problème en contrôle de mi-session à cause de cette FI
>_<
Alors maintant, elle ne me sort plus de la tête =)

[Thorin]

Je trouve que vous raisonnez à l'envers.

Par défaut, tout est indéterminé, ensuite, quelques théorèmes permettent de trouver quelques limites et d'établir des résultats sur quelques formes générales. On dirait que vous êtes en train de chercher des raisons pour lesquelles ce serait une forme indéterminée, alors qu'il faut chercher des raisons pour lesquelles ca ne le serait pas !

[invitec6946ef0]

Effectivement, ça me trouble, je trouve ça très contre-intuitif ... Mais okay x)

Edit : Je crois que je viens de comprendre \o/