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Petit soucis



  1. #1
    maaths09

    Petit soucis


    ------

    Bonjour à tous. J'aurais besoin de votre aide pour une question, mais voici l'exercice en entier :
    Soit la fonction f définie sur R par f :
    f(x)=2/x²+1.

    1.Déterminer le signe de f(x)
    J'ai mis que f(x) est positive car 2 est positif et comme x²≥0 alors x²+1≥1 donc x²+1 est positif donc par la règle des signes on trouve f(x) est positive.

    2.On considère deux réels a et b tels que a≤b, montrer que :
    f(a)-f(b)= 2(b-a)(a+1) / (a²+1)(b²+1)
    J'ai remplacer f(a) par 2/a²+1 et f(b) par 2/b²+1 puis j'ai calculer et j'ai trouver ce résultat.

    5. En déduire le sens de variation de la fonction f sur ]-∞,0] et sur [0,+∞[
    C'est sur cette question que je bloque... Ca doit être simple mais je ne trouve pas, je sais qu'il faut prendre a≤b<0 et f(a), f(b) mais je ne sais pas quoi faire après.
    J'aurais juste besoin d'une petite aide. Merci d'avance

    -----

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  4. #2
    Mademoiselle D

    Re : Petit soucis

    Bonjour,

    f(a)-f(b)= 2(b-a)(a+1) / (a²+1)(b²+1)

    Pour a≤b<0 :
    b-a ≤ 0
    a+1 > 0 quand a<-1 et <0 quand a>-1

    Pour 0<a≤b :
    b-a > 0
    a+1 > 0

    Le dénominateur est tjrs positif, il manque plus que le tableau de signes.

  5. #3
    maaths09

    Re : Petit soucis

    Merci pour cette réponse, donc en fait je ne fais que le tableau de signe de b-a, a+b et du produit ?

  6. #4
    Mademoiselle D

    Re : Petit soucis

    Non, tu étudies le signe de f(a)-f(b) sur R, mais effectivement, le signe de cette différence dépend du signe du produit de (b-a) par (a+1).

    Je viens de m'apercevoir : En général on fait f(b)-f(a) donc fais attention à ne pas te tromper pour en déduire les variations.

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  8. #5
    cleanmen

    Re : Petit soucis


    Pour tout a et b de R:
    et comme b>a, on a:
    Le signe ne depend donc que de a+1.
    2 cas: a+1<0 ou a+1>0.
    Si a<-1 f(a)-f(b)<0. Sinon f(a)-f(b)>0.

  9. #6
    Mademoiselle D

    Re : Petit soucis

    AHHH honte à moi, c'est vrai que b-a est toujours > 0

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  11. #7
    maaths09

    Re : Petit soucis

    Mais comment je dois faire pour étudier le signe de f(a)-f(b) ? J'avoue que j'ai dû mal à comprendre et pourtant ce n'est pas si dure

  12. #8
    Mademoiselle D

    Re : Petit soucis

    + x + = +
    - x - = +
    - x + = -

    Donc, puisque b-a > 0 xD 2(b-a) > 0
    Quand a > -1 , (a+1) > 0 donc, 2(b-a)(a+1) > 0
    Quand a < -1 ...

  13. #9
    maaths09

    Re : Petit soucis

    Huuum d'accord ! Donc : Quand a<-1, (a+1) < 0 donc 2(b-a)(a+1) <0
    C'est ça ?

  14. #10
    Mademoiselle D

    Re : Petit soucis

    Voila c'est ça ^^

  15. #11
    maaths09

    Re : Petit soucis

    . Donc pour récapitule, si a<b<0 alors la fonction f est strictement décroissante. Et si a>b>0 alors la fonction f est srictement croissante .
    C'est juste ?

  16. #12
    Mademoiselle D

    Re : Petit soucis

    Je n'aurais pas du différencier les 2 cas au début, et en plus j'ai fait une erreur de calcul. Ce qu'a fait cleanmen est beaucoup + clair. Quand a<-1, f est décroissante et quand a>-1, f est croissante.

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  18. #13
    maaths09

    Re : Petit soucis

    Hum ok, mais dans ma formultion je dois faire apparaître R+ et R- donc je dis quand a<-1 alors f est décroissante sur r- et quand a>-1 f est croissante sur R+

  19. #14
    cleanmen

    Re : Petit soucis

    c'est bien louche tout ca...
    Ca colle pas avec la fonction nos résultats!
    En fait, j'ai calculé:
    a<b

    On a le denominateur tjrs positif sur R
    b>a implique a-b<0 sur R
    finalement ca revient à étudier le sgne de a+b.
    Or
    de même a+b<0 implique a<0.

    En résumé, 2 cas: a>0 et a<0.

    et a<0 implique d'où et f(b)>f(a) .
    Donc f croissante sur R-.
    a>0 implique et donc f décroissante sur R+.

    C'est mieux comme ca!! Tiens moi au courant...

  20. #15
    maaths09

    Re : Petit soucis

    Désolé d ene répondre que maintenant.
    J'aurais la réponse demain normalement donc je te dirais ça !

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