Petit soucis

[invite4d6f7027]

Bonjour à tous. J'aurais besoin de votre aide pour une question, mais voici l'exercice en entier :
Soit la fonction f définie sur R par f :
f(x)=2/x²+1.

1.Déterminer le signe de f(x)
J'ai mis que f(x) est positive car 2 est positif et comme x²≥0 alors x²+1≥1 donc x²+1 est positif donc par la règle des signes on trouve f(x) est positive.

2.On considère deux réels a et b tels que a≤b, montrer que :
f(a)-f(b)= 2(b-a)(a+1) / (a²+1)(b²+1)
J'ai remplacer f(a) par 2/a²+1 et f(b) par 2/b²+1 puis j'ai calculer et j'ai trouver ce résultat.

5. En déduire le sens de variation de la fonction f sur ]-∞,0] et sur [0,+∞[
C'est sur cette question que je bloque... Ca doit être simple mais je ne trouve pas, je sais qu'il faut prendre a≤b<0 et f(a), f(b) mais je ne sais pas quoi faire après.
J'aurais juste besoin d'une petite aide. Merci d'avance
-----

[invitec6946ef0]

Bonjour,

f(a)-f(b)= 2(b-a)(a+1) / (a²+1)(b²+1)

Pour a≤b<0 :
b-a ≤ 0
a+1 > 0 quand a<-1 et <0 quand a>-1

Pour 0<a≤b :
b-a > 0
a+1 > 0

Le dénominateur est tjrs positif, il manque plus que le tableau de signes.

[invite4d6f7027]

Merci pour cette réponse, donc en fait je ne fais que le tableau de signe de b-a, a+b et du produit ?

[invitec6946ef0]

Non, tu étudies le signe de f(a)-f(b) sur R, mais effectivement, le signe de cette différence dépend du signe du produit de (b-a) par (a+1).

Je viens de m'apercevoir : En général on fait f(b)-f(a) donc fais attention à ne pas te tromper pour en déduire les variations.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite34b13e1b]

Pour tout a et b de R:
et comme b>a, on a:
Le signe ne depend donc que de a+1.
2 cas: a+1<0 ou a+1>0.
Si a<-1 f(a)-f(b)<0. Sinon f(a)-f(b)>0.

[invitec6946ef0]

AHHH honte à moi, c'est vrai que b-a est toujours > 0

[invite4d6f7027]

Mais comment je dois faire pour étudier le signe de f(a)-f(b) ? J'avoue que j'ai dû mal à comprendre et pourtant ce n'est pas si dure

[invitec6946ef0]

+ x + = +
- x - = +
- x + = -

Donc, puisque b-a > 0 xD 2(b-a) > 0
Quand a > -1 , (a+1) > 0 donc, 2(b-a)(a+1) > 0
Quand a < -1 ...

[invite4d6f7027]

Huuum d'accord ! Donc : Quand a<-1, (a+1) < 0 donc 2(b-a)(a+1) <0
C'est ça ?

[invitec6946ef0]

Voila c'est ça ^^

[invite4d6f7027]

. Donc pour récapitule, si a<b<0 alors la fonction f est strictement décroissante. Et si a>b>0 alors la fonction f est srictement croissante .
C'est juste ?

[invitec6946ef0]

Je n'aurais pas du différencier les 2 cas au début, et en plus j'ai fait une erreur de calcul. Ce qu'a fait cleanmen est beaucoup + clair. Quand a<-1, f est décroissante et quand a>-1, f est croissante.

[invite4d6f7027]

Hum ok, mais dans ma formultion je dois faire apparaître R+ et R- donc je dis quand a<-1 alors f est décroissante sur r- et quand a>-1 f est croissante sur R+

[invite34b13e1b]

c'est bien louche tout ca...
Ca colle pas avec la fonction nos résultats!
En fait, j'ai calculé:
a<b

On a le denominateur tjrs positif sur R
b>a implique a-b<0 sur R
finalement ca revient à étudier le sgne de a+b.
Or
de même a+b<0 implique a<0.

En résumé, 2 cas: a>0 et a<0.
et a<0 implique d'où et f(b)>f(a) .
Donc f croissante sur R-.
a>0 implique et donc f décroissante sur R+.

C'est mieux comme ca!! Tiens moi au courant...

[invite4d6f7027]

Désolé d ene répondre que maintenant.
J'aurais la réponse demain normalement donc je te dirais ça !