Sphère inscrite dans un cristal

[invite3f163734]

Bonjour,

J'ai un problème physique que j'essaye de résoudre et de mettre en forme mathématiquement. J'aurai besoin d'un peu d'aide.

Je dispose d'une structure cristaline régulière:
Soit des points P(x) équidistants dans un espace 3D tels que les points soient les sommets d'un cube de longueur 1. (avec une infinité de cubes dans les 3 directions)

J'espère que je suis assez clair pour cette représentation!

Prenons un point au hasard dans cette structure : P(0) comme étant le centre d'une sphère de rayon 6.

J'ai besoin de connaitre le nombre de points P(x) inclus dans cette sphère.

Mes pistes de réponses :
J'ai essayé de prendre les coordonnées sphèriques (P(0) étant l'origine du repère) des différents points P(x) et en calculant rho
(rho = sqrt(x^2+y^2+z^2))
je le compare au rayon de la sphère pour savoir si il est inclus ou pas!

Cette methode est très fastidieuse car je dois connaitre TOUS les points P(x)

J'ai essayé de diviser ma sphère en quartiers afin de n'avoir qu'a multiplier mon résultat obenu mais je compte plusieurs fois les points au limites

Bref je me dis que ce n'est pas très compliqué mais je bloque!

Si quelqu'un pouvais m'aider un peu!!!!
Merci d'avance
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[invited31683c1]

Salut,
tu dois chercher x, y et z entiers naturels tels que x²+y²+z²<=36
Je croies qu'il n'y a que la méthode fastidieuse:
3 points de coordonnées de type (1,0,0): somme des carrés=1
3 points de coordonnées de type (1,1,0): somme des carrés = sqrt(2)
...
bon courage

[fiatlux]

Je réfléchis.... je me demande effectivement si y'a une autre solution que le calcul point par point...

[invite9a322bed]

Problème intéressant, faut chercher une formule de Pick dans l'espace !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9a322bed]

Hey!

J'ai trouvé une merveilleuse idée qui répondra à ta question ! Pourquoi tu cherches pour un rayon=6 ? Essayons de généraliser !

Dans une sphère, on peut construire le plus grand cube possible, si est le rayon de la sphère, alors ce cube a pour longueur de coté . Démo disponible ici: http://serge.mehl.free.fr/exos/cube_inscrit.html

Maintenant comme tu as pu voir sur le schéma du lien, il reste à déterminer les points appartenant au volume au dessus du cube, tu vois qu'il sont identiques sur les 6 faces du cube, donc suffit de trouver le nombre contenu dans une surface, puis de la multiplier par 6 et d'ajouter le nombre contenu dans le cube (facile à faire pour le nombre contenu dans le cube). Franchement, je ne l'ai pas fait, je suis occupé par le Bac en ce moment, mais ça m'a l'air faisable !

Dis moi, si tu trouve

[invite9a322bed]

Il y a une petite erreur dans mon post, il faut trouver le nombre de points dans le volume sur les faces du cubes, tout ces volumes ont la même forme, donc il suffit de trouver pour un, et de le multiplier par 6, car on a 6 faces.

[invite3f163734]

Merci de vos réponses aussi rapides!

Merci mx6, tes pistes semblent interresantes.

Le théorème de Pick en 3D est donné par les polynômes d'Ehrhart
(Wikipedia en)
Mais c'est un peu imbitable pour moi! Je vais me ploanger dedans pour essayer de comprendre.

Pour ta généralisation suyr un rayon R, pourquoi pas! (C'est tiré de mon application, mais je comptais comprendre le fonctionnement pour généraliser par la suite)
Par contre je ne vois pas très bien comment tu calcul le nombre de points dans un des petits volumes (calote de la shpère)
Et comment être sûr que tu ne compte qu'une seule fois les points à la limite du cube inscrit.

[invite9a322bed]

Et comment être sûr que tu ne compte qu'une seule fois les points à la limite du cube inscrit.

Si est un entier, ils vont être comptés deux fois, si n'est pas un entier naturel, alors il n'y a pas de problèmes!

Pour retrouver le nombre s'ils sont calculer deux fois, c'est à dire quand est entier, alors il suffit de trouver le nombre de point à la surface du cube, c'est un carré ! Facile de retrouver le nombre, c'est .

Les volumes qu'on obtient, il me semble que ce sont des demi ellipses, essaye de trouver une méthode intelligente pour déterminer le nombre dans ces demis ellipses ! J'en ai une mais pas approfondie, comme je t'ai dit j'ai le bac ^^

Edit : Merci pour les polynômes d'Ehrhart, je ne connaissais pas ^^

[invite9a322bed]

Ce que j'ai dit biensur est valable si le centre de la spère, est confondu avec l'origine de notre repère,ou bien il appartient au plan z=n (n entier).


Ce qui intéressant avec cette méthode, c'est que tu peux encadrer le nombre de points !

Si P est le nombre de points alors c < P < C-4

c étant le nombre de points appartenant au petit cube, et C au cube dont la sphère est inscrite, il est biensur de coté R, et -4 car les quatres sommets du cube peuvent être éliminées, on sait par défaut qu'ils n'appartient pas à la sphère !

[fiatlux]

Est-ce que tu as besoin d'un résultat exact?
Sinon, à vue de nez, ça doit être 905

(tout simplement en divisant le volume de la sphère par le volume d'un cube, ce qui équivant approximativement au nombre de points puisque ceux-ci sont "partagés" par plusieurs cubes chacun)

[invite9a322bed]

fiatlux, t'es sur qu'une sphère, et un cube de même volume doivent occuper le meme nombre de points ? (c'est une question)

[fiatlux]

fiatlux, t'es sur qu'une sphère, et un cube de même volume doivent occuper le meme nombre de points ? (c'est une question)

Pour une sphère et un cube de même volume (par exemple de volume unité), et si la sphère est centrée sur un point alors elle n'englobe que ce point-là puisque son rayon est de 0.62.... mais c'est pas ça ta question , il me semble....?

En gros , mon approximation marche si le volume de la sphère est très grand par rapport à celui d'un cube, ce qui est le cas ici.

[invite3f163734]

Merci de vos réponses!

Est-ce que tu as besoin d'un résultat exact?
Sinon, à vue de nez, ça doit être 905

Je n'ai pas besoin de connaitre le nombre exact! (enfin, si il y en a moins de 100 oui je dois le connaitre) par contre autour de 900 ce n'est pas la peine car mon système physique n'en sera pas capable!
(mais une idée la plus précise possible peut être utile pour la suite!)

Sachant que l'on parle du parle du cas idéal ou tous les points sont répartis équitablement ce qui n'est jamais le cas dans la nature, ces résultats ne sont que théoriques.

Ce que j'ai dit biensur est valable si le centre de la spère, est confondu avec l'origine de notre repère,ou bien il appartient au plan z=n (n entier).

Je suis effectivement partis du principe que le centre de ma sphère etait le point d'origine de mon repère (après, ce n'est plus que des changement de repères basiques)

Pour l'encadrement, j'y avais déjà pensé mais je voulais une estimation plus précise car je ne me serai pas fait chier à le calculer dans ce cas!

fiatlux, t'es sur qu'une sphère, et un cube de même volume doivent occuper le meme nombre de points ? (c'est une question)

C'est certain que non car il faut tenir compte de l'arangement des points dans la structure.




PS : Bon courage pour ton bac mx6.

[fiatlux]

Je n'ai pas besoin de connaitre le nombre exact! (enfin, si il y en a moins de 100 oui je dois le connaitre) par contre autour de 900 ce n'est pas la peine car mon système physique n'en sera pas capable!
(mais une idée la plus précise possible peut être utile pour la suite!)

Sachant que l'on parle du parle du cas idéal ou tous les points sont répartis équitablement ce qui n'est jamais le cas dans la nature, ces résultats ne sont que théoriques.

Donc mon 905 te suffit si je comprends bien ? Car si je reformule ton problème, c'est combien de petits cubes d'arête 1 je peux mettre dans une sphère de rayon 6.

[invite9a322bed]

Non le problème, c'est combien de points à coordonnées entiers, sont à l'intérieur d'une sphère de rayon R, et dont le centre est le point d'origine du repère (traduction mathématique du problème).

Après reflexion, ce que tu proposes fiatlux, m'a l'air faux, car ici on parle de point à coordonnées entières, le cube et la sphère, même si ils ont le même volumes, ne contienderai pas le meme nombre de points entiers, car la forme est différente. Essaye avec un cube, et un parallépipède, tu verras !

Avec ma méthode, si on découpe les demis ellipses, en deux cubes chacune, tu vas remarquer que la sphère passe par la motié d'un cube (donc contient environ la moitié), ce qui te permettera de réaliser une meilleure approximation !

[fiatlux]

le cube et la sphère, même si ils ont le même volumes, ne contienderai pas le meme nombre de points entiers, car la forme est différente.

ça je le sais bien! Mais je n'ai jamais dit que mes cubes et ma sphère avaient le même volume! J'ai dit que le volume de la sphère est de 4*pi*6^3/3 = 905 et celui d'un cube de 1*1*1 = 1. Comme 905 est beaucoup plus grand que 1, utiliser l'approximation que le nombre de points est donné par 905/1 = 905 me semble correcte

PS: il y a 8 points par cubes (8 coins), mais chaque point est "partagé" par 8 cubes, donc compter le nombre de cubes revient à compter le nombre de points.

[invite3f163734]

Re bonjour à vous!

Bon j'ai arrêté de me prendre la tête et j'ai utilisé les outils numériques pour répondre à ma question!
Le calcul n'est pas correct à cause des décimales non gérés (entiers seulement) et des diverses approximations de calcul non maitrisées. Mais j'ai une estimation correct de ce dont j'ai besoin.

Je vous met ma méthode toute simple :

compte = 0x00;
r = 6;
for(z = -r; z <= r; z++) {
  for(y = -r; y <= r; y++) {
    for(x = -r; x <= r; x++) {
      x2 = x * x;
      y2 = y * y;
      z2 = z * z;
      rho = sqrt(x2 + y2 + z2);
      if(rho <= r) {
        compte++;
      }
    }
  }
}

Pour ceux qui ne comprendrait pas ce code, je parcourt TOUS les points d'un cube de coté 2*r (de -r à r) et ceci dans les 3 directions spatiales.

Je calcule alors le module du point (rho : coordonnées sphériques)
Si ce point est inférieur au rayon de la sphère (rho <= r)
ben je compte le point et je passe au suivant.

Ce qui me donne pour mon calcul :
avec un rayon de 6 et des points espacés de 1.
j'ai 1365 points inclus!

voila!

Merci à vous pour votre aide.

J'espère que mx6 ton bac s'est bien passé.
Bonne continuation à vous tous.

Cired

[fiatlux]

Salut,

Je reviens à mon estimation de 905 que j'avais fait
Si tu remplaces dans ton code la ligne:
if(rho <= r)
par la ligne:
if(rho < r)
car on compte les points qui sont strictement DANS la sphère et non pas dessus, on arrive à 895, ce qui colle pas mal à mon 905
(tout ça pour dire que mon approx n'était pas si mauvaise )