[TS] Intégrale

[invite9a322bed]

Bonjour,

Je ne suis pas encore très à l'aise avec les notations des intégrales.



Montrer que est dérivable et que .

Le problème, c'est que je suis confus avec le et le ....
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[Flyingsquirrel]

Salut,

Pour ce genre de question tu as tout intérêt à introduire une primitive (appelons la ) de la fonction , puis à exprimer l'intégrale en fonction de . Une fois que tu as fait cela il suffit d'utiliser les propriétés de (elle est dérivable sur un certain intervalle et l'on connait sa dérivée)...

[invite9a322bed]

Merci, mais est ce évident de trouver la primitive de g ?

[Flyingsquirrel]

On n'a pas besoin de la connaître explicitement. Il faut simplement utiliser le fait que si est une primitive d'une fonction continue alors

( et peuvent très bien dépendre d'une autre variable ...)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9a322bed]

Je reformule ma question, pour la trouver, je dois faire de nombreuses intégrations par partie je crois, car je ne vois pas quelque chose d'astucieux, est ce le bon chemin ? (Avant de me lancer dans ces calculs)

EDIT : J'avais pas vu ton dernier post^^

[invite9a322bed]

Merci

Sinon, pour justifier la dérivabilité, c'est pas définition ? Une intégrale admet une dérivée ?

[Flyingsquirrel]

Non, , tu dérives une fonction composée...

Sinon, pour justifier la dérivabilité, c'est pas définition ?

Presque. On sait que est continue sur donc elle admet sur cet intervalle (au moins) une primitive qui, par définition, est dérivable sur . Comme tu en déduis que est dérivable en tant que fonction composée (attention, n'est pas dérivable sur le même intervalle que ).

[invite9a322bed]

Oui pas fait attention

Donc je reprend !

Voici l'épreuve complète, car je me suis rendu compte que je me bloque un peu souvent, j'ai fait les exercices précédents. Donc voici le lien : http://www.mathsland.com/Forum/Uploa...sm_2009_vf.pdf

Donc je suis dans la partie Problème, la question suivante, ou faut démontrer l'inégalité, je crois qu'il y a un problème, car avec et .

[Flyingsquirrel]

Donc je suis dans la partie Problème, la question suivante, ou faut démontrer l'inégalité, je crois qu'il y a un problème, car avec et .

n'est pas seulement positif, il est compris entre et 1.

[invite9a322bed]

Ah d'accord, j'apprends de nouvelles choses

Une question avant d'aborder cette question ^^ :

Si j'ai par exemple et

est ce que : ?

[Flyingsquirrel]

Oui, c'est correct.

[invite9a322bed]

Oki, donc voici la démo :

Pour tout on a :

Donc :

Soit :

Et comme pour tout , est positive, on en déduit donc que :

Et comme pour tout . On déduit que :

[Flyingsquirrel]

Idem, c'est correct.

[invite9a322bed]

Merci, flyingquirrel, pour la suite de la partie II, je crois que c'est bon, j'ai pas eu de difficultés, mais je voudrais avoir une vérification pour la partie III,

Voici, pour la première question : Justifier que pour , est positive.

On a : donc
Pour tout on a , donc .
Et encore, soit car .
Par suite : et donc est décroissante.

Et comme et , on en déduit que pour tout , , et donc . CQFD

b) On a
Comme , on a : , Par produit on en déduit que

c) D'après la question précédente : pour tout et donc : .

d) Suite minorée décroissante => converge (d'après théorème de la convergence monotone).

[invite9a322bed]

Calcul d'une aire :

a) On procède par une intégration par partie de

Si on pose , u
et et , on tombe facilement sur la réponse.

b) La question se traduit par trouver , on utilise la question précedente en posant , on trouve que c'est égale à , mais comme on a , ca fait donc en UA : . (vraiment pas sur....)

[Flyingsquirrel]

Voici, pour la première question : Justifier que pour , est positive.

On a : donc
Pour tout on a , donc .
Et encore, soit car .
Par suite : et donc est décroissante.

Et comme et , on en déduit que pour tout , , et donc . CQFD

Ouais... c'est un peu compliqué, tu pourrais utiliser directement les inégalités avec pour montrer que .

b) On a
Comme , on a : , Par produit on en déduit que

c) D'après la question précédente : pour tout et donc : .

d) Suite minorée décroissante => converge (d'après théorème de la convergence monotone).

D'accord.

b) La question se traduit par trouver , on utilise la question précedente en posant , on trouve que c'est égale à , mais comme on a , ca fait donc en UA : . (vraiment pas sur....)

Non, tu trouves que l'aire vaut 1/2 unité d'aire et l'on sait qu'une unité d'aire c'est (sur le graphe c'est l'aire d'un carré de côté 1) donc l'aire entre les deux courbes c'est (1/2)*4=2 cm².

[invite9a322bed]

Oki merci beaucoup, je vais essayé de faire la suite, j'ai vu vite fait la question suivante elle a l'air un peu difficile ^^ je pars déjeuner pour le moment ^^

[invite9a322bed]

Une petite aide pour la 3a, je ne vois plus rien :'(

[invitec317278e]

il suffit de se servir de 2a et 1c pour montrer le coté droit de l'inégalité, et de 1a et 2a pour le côté gauche.

[invite9a322bed]

Salut,

Il faut bien que je démontre par récurrence, je crois, c'est à dire que : , j'arrive pas à démontrer ca

[invite9a322bed]

il suffit de se servir de 2a et 1c pour montrer le coté droit de l'inégalité, et de 1a et 2a pour le côté gauche.

Tu as parfaitement raison, je suis parti dans le piège, je voulais une récurrence à tout prix ! Mais directement c'est plus facile (j'ai un peu honte )

[invite9a322bed]

4) a )

On trouve facilement que .

On raisonne par réccurence :

Comme on a
et que

On en déduit que : .

[invite9a322bed]

Pour la suivante (la derniere est facile, donc je la post pas)

Comme on a alors :

On a

Par comparaison, diverge vers l'infinie, et par unicité de la limite, aussi.

Comme vous le voyez, j'ai pas utiliser la question precedente, pouvez vous écrire une solution profitant de cette question. Merci !

[Flyingsquirrel]

Comme on a alors :

Qu'est-ce qui te garantit que ?


Sinon, en utilisant la question précédente :

pour tout et du coup diverge vers puisque .

[invite9a322bed]

Oui, parfait !
Je vais chercher un autre du même type, c'est programme TS, mais plus difficile ^^