[Dérivée] Etablissement des formulaires

[Sethy]

Bonjour à tous,

Voilà je ne parviens pas à rmettre la main sur mon cours de 1ère (ça date un peu). Je cherche à réétablir les formules bien connues pour les dérivées.

Les monomes en ne pose pas de problèmes puisque par exemple :


Le terme en étant négligeable par rapport au terme en , la simplification et le passage à la limite sont triviaux.

Jusqu'ici pas de souci, ma question vient plutôt de ce que j'écris pour l'exponentielle par exemple :


Puis-je poser que ?

Car en faisant cela, je fais un développement en série et en quelque sorte le serpent se mange la queue.

Y a-t-il une approche plus rigoureuse ? Même question pour le ln où on est amené à poser que

Paradoxalement dans le cas des cosinus et des sinus, ça me dérange moins de poser et alors qu'il s'agit peut-être exactement de la même approche.

D'avance merci

Sethy
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[invitef1b93a42]

Pour ce qui est de la fonction exponentielle, on démontre en Terminale que c'est l'unique fonction solution de l'équation différentielle donc de là on a sa dérivée. Pour la fonction logarithme népérien, on définit la fonction comme étant la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Ainsi, en applicant la limite et le fait que le logarithme népérien est la fonction réciproque de l'exponentielle, alors on trouve facilement la dérivée de .

[invite07dd2471]

ou alors l'autre solution, encore plus simple, est de revenir à une autre définition de la fonction ln(x) : c'est l'intégrale entre 0 et x de (1/t)dt
et après avec exp définie comme bijection réciproque de ln, ça se fait d'une manière similaire à ce que dit equinoxx avec ln à partir de exp