Regionnement du plan, niveau bac

[Vishnu]

Bonjour a tous,

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer comment faire cette exercice:
"Caractérisez par un système d'inéquations les points M(x,y,z) intérieur au tétraèdre OABC ou A(0,1,0), B(-1,0,0), C(0,0,2)"

J'ai beau chercher, je ne trouve pas.
Je pense (mais sans aucune certitude) que l'on pourrait utiliser une intégrale avec l'aire d'un triangle de base...
mais vu que l'on est dans le chapitre dans l'espace, je pense qu'il faut plutot utiliser des plans.Ainsi, j'ai pensé a définir le plan que forme chaque triangle pour ensuite dire que les points du tétraèdre sont "inférieur" (si vous comprenez ce que je veux dire) a chaque plan et ainsi définir l'espace du tétraèdre mais je bloque sur comment définir le plan (ABC); je ne vois pas commet lui caractériser une vecteur normal.

Donc, si quelqu'un pourrait m'expliquer, ce serait vraiment sympa. (d'autant plus que mon bac est dans moins d'une semaine)
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[lawliet yagami]

salut,
je vais essayer de t'aiguiller vite fais car il se fait tard
on te parle de déterminer M(x;y;z) grâce à des inéquations par conséquent la partie du cours que tu dois utiliser c'est la position relative d'un points par rapports à un plan... en gros du doit dire que M est situé en haut du plan OAB mais en même temps à "tel endroit" par rapport à "tel plan" etc...tu traduit çà donc par une succession d'inéquation et tu aura tout les coordonnées possible de M(x;y;z)

par contre je pense qu'à moins qu'ils veulent une hécatombe cette année ils ne donneront jamais une question balancée comme çà

[Jeanpaul]

On peut faire plus simple sans raisonner sur les plans car il est assez fastidieux de calculer leurs équations.
Regarde le produit vectoriel P = OA x OB par exemple : c'est un vecteur normal au plan OAB. Le produit scalaire P.OC (appelé le produit mixte des 3 vecteurs, soit leur déterminant) aura le signe du cosinus de l'angle cette normale avec OC. Ce que tu veux c'est que ce signe soit le même que celui du produit scalaire P.OM pour que M soit du même côté du plan OAB.
Donc tu auras une inéquation en écrivant que le produit des produits scalaires est positif.

[Vishnu]

Bonjour et merci de vos réponses,

Jeanpaul, je ne comprends pas pouquoi le produit vectorielle de OA*OB est un vecteur normal du plan (OAB)?
En le calculant, je trouve 0.

lawliet, je suis d'accord sur le principe mais est-ce que tu pourrais me donner une idée sur le comment je trouver les équations ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

Produit vectoriel, pas produit scalaire ! Si tu ne connais pas, ça risque d'être dur en effet.

[invite55dcb7a8]

L'intérieur du tétraèdre OABC est "l'ensemble des points M barycentres des points O(o), A(a), B(b), C(c) avec o, a, b et c > 0"
Après tu fais ton système en exprimant les coordonnées de M en fonction de celles de O, A, B et C

2e méthode : cherche l'équation du plan (ABC) et dis la moi (et fais un dessin stp sous paint ou je sais pas), au moins ça m'entrainera aussi pour le bac

[invitecaefb4ee]

plan(ABC) : ax+by+cz+d=0, tu mets les points A,B,C dans cette équation, tu résous le syst(très simple), tu trouves b=-d,a=d,c=-d/2.
Tu choisis d=2 et donc (ABC):2x-2y-z+2d=0.
Ce plan délimite l'espace en 2 demi-espace : tu veux le demi espce qui contient O, or O vérifie l'inéquation 2x-2y-z+2 sup 0.
pour les autres inéquations c'est évident et donc le syst est:
x inf 0 ; y sup 0 ; z sup 0 ; 2x-2y-z+2 sup 0.

[Vishnu]

Merci Lily et Yangous

Par contre, Jeanpaul, que je ne sache quelque chose qui n'est pas dans mon cours me parait somme toute logique ...

[Jeanpaul]

Par contre, Jeanpaul, que je ne sache quelque chose qui n'est pas dans mon cours me parait somme toute logique ...

C'est sûr, et puis il y a souvent plusieurs façons de s'y prendre, la preuve..;