Curiosite mathematique (la mienne)

[invitefd754499]

Bonjour,

quelqu'un pourrait-il m'expliquer ce que sont les integrales ?

Merci au courageux qui s'y collera.
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[Seirios]

Bonjour,

Tu peux déjà regarder ici : http://pagesperso-orange.fr/gilles.c...hiers/CI04.pdf

[bubulle_01]

Bonsoir,

Tout d'abord, je te dirais comment on l'a construit en sup :
On considère tout d'abord une fonction en escalier.
Qu'est-ce qu'une fonction en escalier ? C'est une fonction définie sur un intervalle que l'on peut décomposer en segments de la forme et telle que soit constante sur chacun de ces intervalles.
On remarque alors que la représentation graphique de apparaît comme des escaliers. On définit alors l'intégrale de sur un segment comme l'aire algébrique (positif si négatif si ) de la courbe avec l'axe des abscisses (c'est tout simplement l'aire d'un rectangle).
L'intégrale de sur est alors la somme des intégrales de sur chacun des segments.
On montre alors que quelque soit une fonction continue , on peut trouver quelque soit , des fonctions en escalier et telle que et
On définit alors l'intégrale de sur comme la borne sup des intégrales des fonctions (ou la borne inf des intégrales des fonctions ) sur .
L'intégrale de sur est alors écrit et vaut (on peut le montrer) où est une primitive de sur .

[invitedb2255b0]

L'intégrale de a à b d'une fonction f définie sur I est l'aire délimité par:
*L'axe des absicesse et Cf, courbe représentative de la fonction F
*Les droite d'équation x=a et x=b.
Si la fonction est négative sur [a ; b] l'aire est prise négativement.
On note

Petite remarque: dx représente la valeur b-a. Dans le cas d'une fonction constante, l'intégrale devient alors l'air du rectangle de dimension f(x) et dx.

Remarque2: L'intégrale d'une aire est un volume. En considérant une surface définie par la fonction z=f(x,y), l'intégrale de f devient le volume délimité par les plan d'équation x=a, x=b, y=a, y=b, le plan d'équation z=0 et la Surface.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefd754499]

Merci a tous pour ces explications
Et pour la doc complementaire, phys2 a file un super lien!

[invitedb2255b0]

Tu remarqueras que le fait que l'aire soit prise négativement si la fonction est négative donne des propriété génialissime à ce merveilleux outils. Notamment dans tous ce qui est d'ordre économique et social.