Petit problème de spé

[invite75d595fb]

Bonjour,
Petit problème de spé :

Trouver n tel que A=5n-1 et B=2n+3 soit premiers entre eux.

Merci !
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[bubulle_01]

Salut,

Soit
Tu peux montrer par soustraction que
Je te laisse conclure (pour qu'ils soient premiers entre eux, n'oublie pas qu'il faut que )

[invite75d595fb]

J'ai donc :

5n-1=(2n+3)*2+(n-7)

2n+3=(n-7)*2+17

Donc PGCD(5n-1;2n+3)=PGCD(n-7;17)

A partir de la, je ne sais plus quoi faire, on doit résoudre PGCD(n-7;17)=1 mais n'y aurait-il pas alors une infinité de solution ?
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Autre question comment résoudre un système du type
x=3[11]
x=4[15]

On a x=11k+3 et x=15k'+4 mais après ...

[Seirios]

Bonjour,

J'ai donc :

5n-1=(2n+3)*2+(n-7)

2n+3=(n-7)*2+17

Donc PGCD(5n-1;2n+3)=PGCD(n-7;17)

Il faut faire attention ici ; il y a une condition sur n pour cette égalité, à cause des divisions euclidiennes (condition sur le reste)

A partir de la, je ne sais plus quoi faire, on doit résoudre PGCD(n-7;17)=1 mais n'y aurait-il pas alors une infinité de solution ?

Il y aura effectivement une infinité de solution, mais le fait que 17 est premier devrait t'aider à trouver une condition que n ne devra pas remplir pour que d=1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite75d595fb]

Bonjour,



Il faut faire attention ici ; il y a une condition sur n pour cette égalité, à cause des divisions euclidiennes (condition sur le reste)



Il y aura effectivement une infinité de solution, mais le fait que 17 est premier devrait t'aider à trouver une condition que n ne devra pas remplir pour que d=1.

n ne doit pas être un multiple de 17
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Pour l'autre problème, une idée ?

[Seirios]

n ne doit pas être un multiple de 17

Tout à fait ; cela dit, passer par la division euclidienne ne fonctionne que pour n>41 (de mémoire), dont pour terminer le raisonnement, il faudrait également considérer le cas où n<41.

Autre question comment résoudre un système du type
x=3[11]
x=4[15]

On a x=11k+3 et x=15k'+4 mais après ...

Tu peux utiliser ce théorème : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...restes_chinois (que j'ai découvert il n'y a pas très longtemps d'ailleurs)

[bubulle_01]

n ne doit pas être un multiple de 17

Faux, ne doit pas l'être.

[invitedb2255b0]

A partir du là, tu peux continuer:

n-7 = 17q + r. Nous on veux que r = 1.
Ce qui se traduit par: n-71[17]
donc que n8[17]

Donc n sera de la forme 17k + 8, k étant un entier.
J'me trompe ?

[bubulle_01]

A partir du là, tu peux continuer:

n-7 = 17q + r. Nous on veux que r = 1.
Ce qui se traduit par: n-71[17]
donc que n8[17]

Donc n sera de la forme 17k + 8, k étant un entier.
J'me trompe ?

Oui tu te trompes, on veut simplement que r soit différent de 0, pas que r vaille 1.

[Seirios]

Faux, ne doit pas l'être.

Effectivement, j'ai approuvé un résultat erronné Je m'étais arrêté sur le critère de non-divisibilité par 17...

[invitedb2255b0]

J'ai pas préciser, mais k est un entier naturel si n est définie dans et k est relatif si n est définie dans

[invitedb2255b0]

Oui tu te trompes, on veut simplement que r soit différent de 0, pas que r vaille 1.

Je recommence.
On veux que PGCD(5n-1; 2n+3)=1, d'accord ?

On fais le calcul tout simple du pgcd:
5n-1 = (2n+3)*2 + (n-7)
2n+3 = (n-7)*2 +17
n-7 = 17*q + r.

On a donc PGCD(5n-1;2n+3)=PGCD(n-7;17)=1 si r=1, toujours d'accord ?

Apres on as donc n = 17k+8.
Pour k = 1 on a A=124 B=53 et PGCD(124 ; 53)=1
Pour k = 2 on a A=209 B=87 et PGCD(209 ; 87)=1
Pour k = 3 on a A=294 B=121 et PGCD(294 ; 121)=1

Je continue ou ca suffit pas ?

[bubulle_01]

Si r=1, d=1, oui.
Mais si r=2, d=1 tout autant.

Tu sous entends quoi par ton "Je continue ou ca suffit pas ?" ?
Que j'aurais du mal à te suivre ?
J'éspère que non, ce serait le comble pour une personne qui ne parvient pas à résoudre correctement ce genre d'exercice.

[invitedb2255b0]

Soit.

Dans ce cas là il suffit de dire que 17 est premier, donc si n-7 n'est pas divisible par 17 alors PGCD(n-7 ; 17)=1

Donc PGCD(A ; B)=1 pour tout n qui ne s'écrit pas sous la forme n=17k+7 ?

[Seirios]

Donc PGCD(A ; B)=1 pour tout n qui ne s'écrit pas sous la forme n=17k+7 ?

C'est bien ça.

[invite57daf81a]

fallait déja y penser !
GG les gars
détente de l'atmosphère

[invitedb2255b0]

=D
Un autre ! Un autre