Bonjour à tous,
je dois vous avouer que je seche sur un exo que notre prof nous a donné à l'oral en fin de cours, l'entendant je me suis dit que ce serait rapide, mais ...
Le voici : "Démontrez qu'il n'existe qu'un naturel p non nul vérifiant PPCM(9p+4 ; 2p-1) = 714, donnez alors PGCD(9p+4 ; 2p-1)".
Je vous remercierais de m'aider, ne serait-ce que par une piste.
Salut,
pour la seconde question, essaie d'utiliser pgdc(a,b)*ppmc(a,b)=a*b
Désolé pour mon indication dans le message précédent. Je ne crois pas que cela soit la meilleure manière de faire. Est-ce que tu peux indiquer où cela bloque pour que nous puissions t'aider ?
salut,
Je pense que tu pourrais commencer par rechercher les diviseurs de 714. Ensuite tu sais que PPCM(a,b)=k*a=k'*b avec k et k' appartenants à N, et a; b; k et k' etant des diviseurs du PPCM.
Voila si jamais tu n'y arrive pas quand meme, on te donnera plus d'indication! bonne chance
euh....
on prend p=26;
9*26+4=238
2*26-1=51
714/51=14;
714/238=3
et en plus, ma calculette me dit que 714 est effectivement le ppcm de ces deux nombres....
"Démontrez qu'il n'existe qu'un naturel p non nul"
je dois pas voir tout suivi...
Bin je pense que tu l'as trouvé (le seul naturel qui existe) maintenant reste à prouver que c'est bien le seul ....
Une méthode, qui n'est sans doute pas la plus élégante :
On sait que le PPCM de a et b est multiple de a et de b.
Donc 9p+4 et 2p-1 sont des diviseurs de 714.
On sait que p est un entier naturel non-nul ; donc 9p+4 est supérieur ou égal à 13.
Faisons la liste des diviseurs de 714 supérieurs ou égaux à 13 : 14 17 21 34 42 51 102 119 238 714
Parmi eux, il faut sélectionner les x tels que x-4 soit multiple de 9 (puisque 9p+4=x). On voit donc très rapidement que seul x=238 pourrait convenir.
On en déduit p=26, qui convient effectivement (ce que prouve le calcul de plank) on a donc trouvé l'unique entier p qui vérifie ppcm(9p+4,2p-1) = 714
