Exercice Maths spé

[invite1aefa896]

Bonjour ! Excusez moi, je suis nouveau et je suis bloqué a un DM de maths spé avec un exercice dont je vous met l'énoncé :
On note E l'ensemble des nombres premiers p de la forme p=4n+3 où n est un entier naturel : E=(3;7;11;19...)
On suppose que E est fini, alors il possède un plus grand élément P=4N+3 avec N entier naturel, et on note A le produit des éléments de E, puis B=4A-1.

1) Démontrer que les diviseurs premiers de B sont de la forme 4k+1 ou 4k+3 avec k entier.
2) Montrer qu'aucun nombre premier de la forme 4k+3 ne peut diviser B.
3) Les diviseurs de B sont donc tous de la forme 4k+1, montrer en raisonnant modulo 4 que l'on arrive a une contradiction.
4) Que peut on en deduire pour l'ensemble E ?
5) Quel est le plus petit élément de E strictement superieur a 2007 ?

Je vous remercie d'avance pour votre aide...
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[invite1aefa896]

J'ai oublié de vous dire que j'ai trouvé pour la question 1, mais je n'ai pas la moindre idée d'un debut de resolution pour les autres questions...

[invite986312212]

1) est trivial
2) c'est parce que A est supposé être le produit de TOUS les nombres premiers congrus à 3 modulo 4 (donc si l'un d'entre eux divisait B il diviserait aussi A)
3) il faut utiliser la table de multiplication modulo 4

[invite1aefa896]

Merci pour ta réponse, mais pourrais-tu detailler un peu plus ?
Comment prouver que 4k+3 ne peut pas diviser B ? Faut-il que je remplace A par (3x7x11....x4N+3) dans l'expression de B ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite986312212]

soit p=4k+3, alors A=pC et B=4A-1=4pC-1. p ne peut diviser B

[invite1aefa896]

D'accord ! Merci beaucoup !
Je pense que je m'en sortirai pour la 4 et la 5, mais pour la 3, je ne vois pas vraiment ou il faut arriver...

[invite986312212]

peut-être que tu ne connais pas les règles de calcul dans Z/4Z ?

[invite1aefa896]

Euh...Je ne crois pas...(Je suis en terminale S)

[invite1aefa896]

Quelqu'un pour m'aider, please

[invite03f2c9c5]

En postant dans le mauvais forum (il y a pourtant clairement un forum pour collège et lycée, et un autre pour l'enseignement supérieur), et en parlant de maths spé, appellation traditionnelle de la seconde année de classe préparatoire, au lieu de spécialité maths de TS, tu risques d'entraîner la confusion sur la nature de ta question et de ne pas obtenir aisément des réponses appropriées pour ton niveau d'études (je vois qu'on t'a déjà parlé de Z/4Z…).

Bref, sans vouloir te vexer, avec un petit effort de ta part pour poster au bon endroit, tu aurais eu plus de chances d'avoir des réponses…

[invite986312212]

salut,

ça marche comme ci:
si n=4x+1 et m=4y+1, alors mn=16xy+4x+4y+1=4z+1:
le produit de deux nombres dont le résidu modulo 4 est 1, a encore un résidu modulo 4 égal à 1, et évidemment ça reste vrai pour un nombre quelconque de facteurs.

[invite1aefa896]

Ok, merci pour les reponses, meme si je n'ai pas très bien compris je vais me debrouiller avec ca !
Et sinon je ne savais pas qu'il y avait un forum special pour collège et lycée sinon j'y serai effectivement allé...
J'ai de plus remarqué que beaucoup de problemes de maths de mon niveau, et des aides pour des dm etaient donnés ici, c'est pour cela que je ne me suis pas rendu compte de ce detail.
Merci encore pour les aides.