Primitive et surface

[invite3ba0dddb]

Elève étourdi! Si l'on rapetisse b et augmente a ce n'est plus un rectangle !

Tu apprendra plus tard que l'infini fois 0 est indéterminé, ça peut faire l'infini , 0 , une valeur finie ou pas défini..La plupart du temps on trouve une solution à la limite...

il parle bien de rectangle pas de carrée
-----

[triall]

Etant assez têtu , il me semble que j'ai trouvé une solution pour la surface
Je trouve les démonstrations de Lilimystère trop formelles , perso j'ai besoin de calculer, je suis plutôt physique..
Donc il faut démontrer que la surface limitée par f(x), x=a ; x=b et l'axe des x est donné par F(a) -F(b) où F est une primitive de f
Voir dessin ici http://www.ard2ride.net/integrale.JPG
On a notre surface avec les rectangles du dessus S=limh...o{ hf(a)+ hf(a+h) +hf(a+2h) +...hf(b-h)}= limh...o h{f(a)+f(a+h)…+f(b-h)}



Or lim h...o (F(a+h)-F(a) )/h=f(a)
lim h...o (F(a+2h)-F(a+h) )/h=f(a+h)
lim h...o (F(a+3h)-F(a+2h) )/h=f(a+2h)
..
.. lim h...o (F(b)-F(b-h) )/h=f(b-h)
On sait que lim (f+g)= lim( f)+lim (g) lim (fxg) =lim (f)x lim(g)
On additionne les égalités
Cela donne S=lim h…o h. limh..o(1/h(-F(a) +F(b) )=limh x lim1/h (-F(a)+ F(b) )
S=lim1x (F(b)-F(a) =(F(b)-F(a) Bingo !!!

[triall]

il parle bien de rectangle pas de carrée

Autant pour moi,c'est moi qui suis étourdi, je n'avais pas compris l'exemple du rectangle de même surface , je le faisais transformer en trapèze...
Sa surface a.b = A Admettons que l'on diminue a=1/t fonction inverse du temps , b devra être égal à tA proportionel au temps .
Quand t...infini , la surface reste constante .. et on a bien
0 x infini=Cste ...

[invitec317278e]

Pour le fait qu'une fonction peut avoir une aire finie même quand on la prend de 0 à l'infini, il n'y a là rien de plus étonnant que le fait qu'on peut avoir une somme qui a un nombre infini de termes, mais qui a une valeur finie (la somme des inverses des carrés, par exemple).

[invitec317278e]

Et comme j'ai plus de temps que l'autre jour, je donne un exemple de fonction qui ne tend pas vers 0 mais dont laire sous la courbe n'est pas infinie pour x grand :
soit f la fonction définie par :
soit n un entier.
pour x compris dans
pour x compris dans

[triall]

Il me semble que la notion de tendre vers, est employée pour les fonctions continues, non !

[invitec317278e]

du tout.
pour tendre vers 0 à l'infini, par exemple, il faut juste respecter :



Au passage, non seulement on peut construire une fonction intégrable à l'infini qui ne tend pas vers 0, mais on peut aussi construire une fonction qui ne tend pas vers 0, et qui n'est pas majorée à l'infini (on peut prendre a et M aussi grands qu'on veut, on trouvera toujours x>a tel que f(x)>M), mais dont l'intégrale à l'infinie converge.