Primitive et surface

[triall]

Bonjour
Soit la fonction f(x)=1/x2 (x au carré) .
Je voudrais calculer la surface comprise entre cette coube et l'axe des x de a>0 à l'infini
je crois que si g est la primitive g(x) :g'(x)=f(x) cette surface est donnée par g(infini) - g(a) ou intégrale de a à l'infini de f(x) dx
Est-ce bien celà ? , et j'aimerais en bonus la démonstration qu'une telle surface entre a et b est toujours g(b)-g(a) .

Je me souviens de la méthode des trapèzes succesifs :voir ici
http://www.ard2ride.net/integrale.JPG
On arrive à trouver la surface sous cette forme :
lim htend vers 0 de h/2(f(a+h)+f(a)+f(a+h)+f(a+2h)+f (a+2h)+f(a+3h)..... =h/2(f(a) +2(f(a+h)+f(a+2h) +f(a+3h)....) )
Et on a donc aussi lim h tend vers 0 (g(a+h)-g(a))/h=f(a)

La solution n'est pas loin, ce que je veux montrer c'est alors
lim h tend vers 0de h/2(f(a) +2(f(a+h)+f(a+2h) +f(a+3h)....) )=
lim g (infini) -g(a)

Je sais il me fallait trouver la surface entre a et b et là je l'ai fait entre a et l'infini.

merci si vous pouvez m'aider
-----

[invitecaefb4ee]

bjr,

1) si f continue et positive sur [a;b] , alors somme de a à b de f(t) dt représente l'aire du domaine délimité par la courbe de f, l'axe des abscisses, les droites d'équation x=a et x=b.

en fait on peut le voir comme la somme des aires des rectangles de hauteur f(t) de largeur dt.
car l'aire du domaine en question est encadrée par deux suites de rectangles : les uns "sous la courbe de f" et les autres "au-dessus de la courbe de f", ces deux suites convergeant et ayant la même limite quand la largeur des rectangles tend vers 0.

2) on calcule cette aire par passage à la primitive :
théorème : soit f continue sur un intervalle I, soit a dans I et x dans I.
Alors la fct F(x)=integ de a à x de f(t) dt est la primitive de f qui vaut 0 pour x=a.
demonstration : on montre que F est dérivable en tout pt b de I et que le nombre dérivé de F en b est f(b), (en calculant le taux d'accroissement de F entre b+h et b et en faisant sa limite quand h tend vers 0) ainsi la fct F est une primitive de f.

3) théorème : si f continue sur [a;b], alors intégrale de a à b de f(t) dt = F(b) - F(a) où F désigne une primitive de f sur [a;b].
demonstration : avec le 2), on connait une primitive de f. pour connaitre toutes les primitives , il suffit de rajouter une ctse k, qui ici vaut F(a).

Par conséquent :
l'aire du domaine en question, quand f est continue et positive sur [a;b] est l'intégrale de a à b de f(t) dt , qui se calcule bien avec une primitive de f.

[triall]

OK , merci beaucoup; mais au risque de paraître pénible, j'aurais aimé voir les détails de la convergence de cette suite avec le calcul des rectangles alors j'ai refait le dessin, ça a l'air plus facile avec les rectangles qu'avec les trapèzes..
http://www.ard2ride.net/integraleb.JPG
Je passe sur la dérivabilité/positivité..
On a donc surface considérée S
S=lim h tend vers 0 de{ h(f(a)+f(a+h)+f(a+2h)+..f(a+nh ))}
avec nh=b-a

S=lim h tend vers 0 de{ h((f(a)+f(a+h)+f(a+2h)+..f(b)) }
Avec toujours lim h tend vers 0 de {(g(a+h)-g(a))/h}=f(a)

Comment avec ces égalités obtient-on ?
S=g(a)-g(b) ou g(b)-g(a)

Sinon la somme des aires des rectangles de hauteur f(t) de largeur dt de a à b s'écrit comment ? intégrale de a à b de f(t)dt ?C'est une définition ?

[invitecaefb4ee]

bjr,

On a donc surface considérée S
S=lim h tend vers 0 de{ h(f(a)+f(a+h)+f(a+2h)+..f(a+nh ))}
avec nh=b-a

en toute franchise je ne me revois pas refaire ces démonstrations, c'est très long et j'ai perdu la main!!
au départ on introduit intégrale de f de a à b en se servant des fonctions en escaliers(on a donc des aires de rectangles), puis on passe aux fcts continues par morceaux.
Puis on introduit la somme de riemann associéee à une fct f : c'est la somme de i=0 à n-1 de (a(i+1)-a(i))*f(epsilon (i)) où epsilon(i) est dans l'intervalle [a(i);a(i+1)]. On démontre (je ne sais plus comment!!) que les sommes de riemann associées à f tendent vers integrale de f entre a et b, quand n tend vers l'infini (c'est à dire quand le pas de la subdivision tend vers 0).

[A voir en vidéo sur Futura]

[triall]

OK, merci quand même , mais il me semble que ce n'est pas loin , peut être en ajoutant les 2 suites et écrire que la limite est 2 fois celle cherchée.
Je suis assez têtu pour y arriver , j'avais lu la démonstration (il y a 15 ans...)
Cordialement

[invitecaefb4ee]

Comment avec ces égalités obtient-on ?
S=g(a)-g(b) ou g(b)-g(a)

pour démontrer que l'intégrale de a à b de f(t) dt se calcule avec une primitive de f :
théorème : soit f continue sur un intervalle I. Soit a dans I et x dans I . La fct F définie par F(x)=integ de a à x de f(t) dt est la primitive de f sur i qui vaut 0 en a.
démoonstration :
on calcule le taux d'accroiss de F entre x+h et x :
F(x+h)-F(x) = intég de a à x+h de f(t) dt - intég de a à x de f(t) dt
= intég de x à x+h de f(t) dt.
Or il existe un réel c dans [x;x+h] tel que intég de x à x+h de f(t) dt = (x+h-x)*f(c)
( ce qui revient à dire qu'il existe un réel c tel que l'aire du domaine sous la courbe de f entre x et x+h est égale à l'aire d'un rectangle de hauteur f(c) et de meme largeur).
donc F(x+h)-F(x)=h*f(c).
donc (F(x+h)-F(x))/h = f(c).
Limite(qd h tend vers 0 de f(c))=x et, commme f continue, lim(qd h tend vers 0 de f(c)) = f(x)..
Ainsi la fct F est dérivable en tout pt x de I et le nombre dérivé est f(x)
donc F est une primitive de f sur I.
Et F(a)=0 donc Fest la primitive def sur I qui vaut 0 en a.

[invitecaefb4ee]

désolée, sans latex, c'est difficile à lire, mais bon, latex ne m'apporterait rien, sauf sur les forums

[invitecaefb4ee]

Comment avec ces égalités obtient-on ?
S=g(a)-g(b) ou g(b)-g(a)

pour finir, intég de a à b de f(t) dt = F(b)-F(a) où F est UNE primitive de f sur [a;b].
démonst :
posons G(x)=intég de a à x de f(t) dt
on sait que G est la primitive de f qui vaut 0 en a.
Donc une primitive F de f est F(x)=G(x)+k, où k une cste réelle.
comme G(a)=0 alors F(a)=k donc
G(x)=F(x)-F(a) or G(x)=intég de a à x de f(t) dt
donc
intég de a à b de f(t) dt = F(b)-F(a) où F désigne une primitive qcq de f sur [a;b]

[invitecaefb4ee]

pour démontrer que l'intégrale de a à b de f(t) dt se calcule avec une primitive de f :
théorème : soit f continue sur un intervalle I. Soit a dans I et x dans I . La fct F définie par F(x)=integ de a à x de f(t) dt est la primitive de f sur i qui vaut 0 en a.
démoonstration :
on calcule le taux d'accroiss de F entre x+h et x :
F(x+h)-F(x) = intég de a à x+h de f(t) dt - intég de a à x de f(t) dt
= intég de x à x+h de f(t) dt.
Or il existe un réel c dans [x;x+h] tel que intég de x à x+h de f(t) dt = (x+h-x)*f(c)
( ce qui revient à dire qu'il existe un réel c tel que l'aire du domaine sous la courbe de f entre x et x+h est égale à l'aire d'un rectangle de hauteur f(c) et de meme largeur).
donc F(x+h)-F(x)=h*f(c).
donc (F(x+h)-F(x))/h = f(c).
Limite(qd h tend vers 0 de c)=x et, commme f continue, lim(qd h tend vers 0 de f(c)) = f(x)..
Ainsi la fct F est dérivable en tout pt x de I et le nombre dérivé est f(x)
donc F est une primitive de f sur I.
Et F(a)=0 donc Fest la primitive def sur I qui vaut 0 en a.

erreur de frappe pour lim de c ( et non pas f(c))

[invitedb2255b0]

Bah si tu calcule la surface de a à l'infini, ta surface sera infini non ?

[invitecaefb4ee]

Bah si tu calcule la surface de a à l'infini, ta surface sera infini non ?

bjr,
je ne pense pas , non !!!

integ( de a à b de (1/x^2)) = [-1/x] entre a et b = -1/b + 1/a
et lim de ça qd b tend vers + infini = 1/a.

[invite34b13e1b]

Bah si tu calcule la surface de a à l'infini, ta surface sera infini non ?

Cherches du côté des "intégrales impropres" si tu veux en savoir plus sur la convergence d'intégrales sur un segment infini!

[triall]

Au départ , c'était une discussion de physique sur l'univers, je me souvenais lors de mes anciennes études avoir manié une fonction f(x) qui tendait vers 0 quand x----infini , et ô surprise dont l'intégrale de a >0 à l'infini était fini .
Comme cette intégrale correspond à la surface limitée par la courbe, l'axe des x, et la droite x=a ; on a un objet le longueur infinie , mais qui a une surface finie, ça m'avait beaucoup marqué , très intéressant au point de vue philosophique ce résultat....

[invitecaefb4ee]

Au départ , c'était une discussion de physique sur l'univers, je me souvenais lors de mes anciennes études avoir manié une fonction f(x) qui tendait vers 0 quand x----infini , et ô surprise dont l'intégrale de a >0 à l'infini était fini .
Comme cette intégrale correspond à la surface limitée par la courbe, l'axe des x, et la droite x=a ; on a un objet le longueur infinie , mais qui a une surface finie, ça m'avait beaucoup marqué , très intéressant au point de vue philosophique ce résultat....

un peu comme un segment qui a une longueur finie et qui est entièrement constitué
d'une infinité de points de longueur nulle

[invitedb2255b0]

Oui excuse moi. Mais si la limite de f(x) est +infini en +infini, alors l'int tendra vers l'infini non ?

[triall]

Et bien, non, c'est ce qui est surprenant, on peut imaginer une pièce en métal, d'une certaine épaisseur, qui file en 1/x2 , donc de longueur infinie, mais , alors avec un volume, donc une masse finie.
Dans la réalité impossible de faire cette pièce, mais mathématiquement imaginable .On peut ainsi imaginer un univers de distance infinie, mais avec une masse finie..., ce qui est plus agréable pour la pensée...

[invitedb2255b0]

Et bien, non, c'est ce qui est surprenant, on peut imaginer une pièce en métal, d'une certaine épaisseur, qui file en 1/x2 , donc de longueur infinie, mais , alors avec un volume, donc une masse finie.
Dans la réalité impossible de faire cette pièce, mais mathématiquement imaginable .On peut ainsi imaginer un univers de distance infinie, mais avec une masse finie..., ce qui est plus agréable pour la pensée...

Je vois, le volume ne pourrais être infini vu que la masse est nécessairement fini.

1er) Si l'intégrale est un volume, alors on ne parle plus d'intégrale d'une fonction y=f(x) mais plutôt z=f(x;y) (une surface). C'est peut-être ce dont tu parlais, mais tu avais écrit "f(x)" l'intégrale était donc nécessairement une aire. Et si la fonction tend vers l'infini en l'infini, alors l'aire délimité par son intégrale sera nécessairement infinie. (Je suis incapable de démontrer, donc je conçois que cela soit faux. Comme disais Euclide: "Tout ce qui peut-être affirmer sans preuve, peut-être dénié sans preuve".)

2e)Physiquement parlant le volume est le produit de la masse par le la masse volumique. La masse volumique étant une constante, la masse ne pouvant être infinie, alors le volume ne peut-être infini. Mais mathématiquement parlant, la masse n'intervient nullement (enfin, de mes connaissance de petit bachelier en tous cas, nous n'avons jamais parler de masse en maths). Seules peuvent potentiellement intervenir les unité physique suivante: m, m² et m^3 bien que généralement on parlera d'unité, d'unité d'aire ou d'unité de volume.

Je prend un exemple classique: le cylindre. On défini un cylindre par la relation suivante:
x²+y² = R²
Le volume délimité par ce cylindre (pas l'aire de la surface, le volume à l'intérieur. Il aurait d'ailleurs été plus rigoureux de définir ainsi l'objet de l'espace de la manière suivante: x²+y²<=R²) sera donc infini si on ne le délimite pas, n'est-ce pas ?

Enfin, je ne fais que des hypothèses qui n'ont pas grand intérêt, je doit avouer que je suis incapable de les démontrer.

[triall]

. Et si la fonction tend vers l'infini en l'infini, alors l'aire délimité par son intégrale sera nécessairement infinie.


.

Et bien non, prenez la fonction 1/x² qui admet comme primitive -1/x, si l'on calcule la surface délimité par cette coube, la droite x=a , et l'axe des x de a à l'infini, on a S=1/a .Pour vérifier, je vous invite à prendre une feuille quadrillée, et à mesurer avec le quadrillage la surface de a à b déjà , et vérifier que c'est bien 1/b-1/a . En prenant a=2 b=4 par ex ....
Je l'ai mise là , en vert la surface http://www.ard2ride.net/integr.JPG

La surface est limitée car la courbe "plonge" rapidement vers l'axe des x , imaginons alors une pièce d'épaisseur constante b de cette forme , son volume sera Sxb , fini !Et masse finie aussi .

Le cylindre de longueur infinie, lui ,aura bien sûr un volume et une masse infini .

[invitedb2255b0]

Et bien non, prenez la fonction 1/x² qui admet comme primitive -1/x, si l'on calcule la surface délimité par cette coube, la droite x=a , et l'axe des x de a à l'infini, on a S=1/a .Pour vérifier, je vous invite à prendre une feuille quadrillée, et à mesurer avec le quadrillage la surface de a à b déjà , et vérifier que c'est bien 1/b-1/a . En prenant a=2 b=4 par ex ....
Je l'ai mise là , en vert la surface http://www.ard2ride.net/integr.JPG

La surface est limitée car la courbe "plonge" rapidement vers l'axe des x , imaginons alors une pièce d'épaisseur constante b de cette forme , son volume sera Sxb , fini !Et masse finie aussi .

Edit: Théoriquement, une masse ne peut être infini. Après, c'est une question de densité.

Le cylindre de longueur infinie, lui ,aura bien sûr un volume et une masse infini .

Oui, sauf que la fonction 1/x² ne tend pas vers l'infini en l'infini.
D'ailleurs je pense qu'il faille nécessairement que la fonction tendent vers 0 pour que l'intégrale au voisinage de l'infini ne soit pas infini. (car même si elle tend vers un réel quelconque, la logique veut que sont intégrale soit infini.)

D'ailleurs, c'était le cas dans le bac de maths de cette année. La fonction tendais vers 0 et on nous faisais calculer sont intégrale entre 0 et a quelconque, puis on faisais tendre a vers l'infini et voyais que l'intégrale n'étais pas infini.

[invite3ba0dddb]

salut,

Oui excuse moi. Mais si la limite de f(x) est +infini en +infini, alors l'int tendra vers l'infini non ?

Et bien non, prenez la fonction 1/x² qui admet comme primitive -1/x.

sauf que

edit:trop tard... sinon c'était quel exos cette question Mikihisa?

[invitedb2255b0]

salut,



sauf que

edit:trop tard... sinon c'était quel exos cette question Mikihisa?

L'exo sur les intégrale, le 2 je crois. On nous demandais de calculer grâce à une intégration par partie, je ne sais plus quel intégrale de 0 à , on obtenais une sorte de fonction de et on calculais l'intégrale quand tendais vers l'infini.

[invite3ba0dddb]

ah oui merci.

[triall]

Pour Mikihisa, il n'y a pas pire sourd.....
Lili mystère a démontré sous 2 angles différents que F(b)-F(a) était bien la surface limitée par la courbe f(x) , la droite x= a, la droite x= b et l'axe des x .
Où F est une primitive de f .Pour la fonction f(x)=1/x2 on a bien
S(urface) = -1/b+1/a , j'ai calculé sur un petit logiciel, ça correspond bien pas de problème , et il est clair que cette surface tend vers 1/a quand b tend vers l'infini http://www.ard2ride.net/integraleb.JPG SI SI !

[invitedb2255b0]

Pour Mikihisa, il n'y a pas pire sourd.....
Lili mystère a démontré sous 2 angles différents que F(b)-F(a) était bien la surface limitée par la courbe f(x) , la droite x= a, la droite x= b et l'axe des x .
Où F est une primitive de f .Pour la fonction f(x)=1/x2 on a bien
S(urface) = -1/b+1/a , j'ai calculé sur un petit logiciel, ça correspond bien pas de problème , et il est clair que cette surface tend vers 1/a quand b tend vers l'infini http://www.ard2ride.net/integraleb.JPG SI SI !

Oui, je conçois tout à fait, dans le cas de la fonction 1/x² ce soit vrai, mais je ne sais pas pourquoi quand j'ai lu ton message j'ai eu le sentiment que tu généralisais à tout volume, d'où mes questionnement et mes dérivations sur le sujet.

Je changeais donc totalement de cas en généralisant (dans le cas ou lim f(x) est infini en l'infini).

[triall]

Ok autant pour moi aussi, je n'avais pas vu (dans le cas ou lim f(x) est infini en l'infini). Ce serait alors étonant que la surface soit finie ...
Enfin, tout de même étonnant, non , cette surface (avec f(x) =1/xn n>1) de longueur infinie, et de surface finie , et donc un volume fini avec une longueur infinie, cela peut nous permettre peut -être d'apréhender différement notre univers ...

[invitec317278e]

D'ailleurs je pense qu'il faille nécessairement que la fonction tendent vers 0 pour que l'intégrale au voisinage de l'infini ne soit pas infini. (car même si elle tend vers un réel quelconque, la logique veut que sont intégrale soit infini.)

En fait ceci est faux.
-une fonction peut ne pas tendre vers 0, et l'aire sous la courbe ne sera pas pour autant infinie.

-je te rappelle au passage qu'une fonction a d'autres choix que tendre vers un réel ou tendre vers l'infini : elle peut ne pas avoir de limite.
Effectivement, si on sait qu'une fonction à une limite, alors si celle ci n'est pas 0, l'aire sous la courbe tend vers l'infini. Mais on peut construire des fonctions n'ayant pas de limite, et donc ne tendant pas vers 0, mais telles que l'aire sous la courbe au voisinage de l'infini tende vers un réel donné.

[invitedb2255b0]

En fait ceci est faux.
-une fonction peut ne pas tendre vers 0, et l'aire sous la courbe ne sera pas pour autant infinie.

-je te rappelle au passage qu'une fonction a d'autres choix que tendre vers un réel ou tendre vers l'infini : elle peut ne pas avoir de limite.
Effectivement, si on sait qu'une fonction à une limite, alors si celle ci n'est pas 0, l'aire sous la courbe tend vers l'infini. Mais on peut construire des fonctions n'ayant pas de limite, et donc ne tendant pas vers 0, mais telles que l'aire sous la courbe au voisinage de l'infini tende vers un réel donné.

Oui, tout à fait. Merci pour la précision =)

Pour Triall, c'est vrai que cela est assez étonnant. Je pense que ça vient du fait que l'infini fois 0 ne soit pas nécessairement infini. Pour donner un exemple: si on prend un rectangle de dimension a et b, et que l'on rapetisse b de manière à conserver toujours la même aire, a vas grandir. On pourrait alors dire que lorsque que a tend vers 0, b tend vers l'infini. Et l'aire du rectangle serais donc l'infini fois 0, ce qui n'existe pas.
C'est comme ça en tous cas que je vois la chose.

[invitedb2255b0]

Moi ce qui m'etonne le plus dans l'univers: c'est le temps. Le temps est une dimension, Einstein l'as dit. Mais quelle dimension ? On ne parle pas d'espace à 4 dimension, mais d'espace-temps: 3 dimensions + 1.
Moi je vois le temps comme la dimension la plus faible. Celle qui ne varie jamais et qui n'est fonction de rien.

Essayer donc pour voir d'écrire le temps sous la forme t=f(x) ou x serait une variable quelconque, c'est assez difficile à se représenter n'est-ce pas ? La seule idée qu'il m'est venu à l'idée est notre perception et notre vision du temps: Les années, les heures, les minutes, toutes ces chose peuvent s'écrire sous la forme t=f(t), on parle de paquet de temps, mais çà n'arrange en rien le problème.

Exprimer le temps en fonction de quelque chose d'autre que le temps, c'est assez abstrait je trouve ... Imaginez vous mettre le temps en ordonnée dans un graphique par exemple ...

Bref on dérive du sujet, mais vu qu'on parlais de notions assez complexe à comprendre comme le fait qu'une aire de dimension infini soit fini

[triall]

Mouaip pout t= f(x), on a avec le fameux x=1/2 gt²
t=rac(2x/g) qui lie la position d'un objet et le temps, pour sa trajectoire par exemple ...

[triall]

si on prend un rectangle de dimension a et b, et que l'on rapetisse b de manière à conserver toujours la même aire, a vas grandir. On pourrait alors dire que lorsque que a tend vers 0, b tend vers l'infini. Et l'aire du rectangle serais donc l'infini fois 0, ce qui n'existe pas.
C'est comme ça en tous cas que je vois la chose.

Elève étourdi! Si l'on rapetisse b et augmente a ce n'est plus un rectangle !

Tu apprendra plus tard que l'infini fois 0 est indéterminé, ça peut faire l'infini , 0 , une valeur finie ou pas défini..La plupart du temps on trouve une solution à la limite...