Deux droites parallèles se confondent à l'infini

[artix41]

Bonjour à tous,

Je suis un élève de 3e (du moins depuis aujourd'hui), et je suis fort interessé par les mathématiques ; c'est ainsi que je m'avance beaucoup pour avoir actuellement un niveau de seconde-première.

J'avais entendu dire que deux droites parallèles se confondaient à l'infini et j'ai donc cherché à démontrer pourquoi. Je pense avoir trouver et j'amerais votre confirmation. La voici donc (image en pièce jointe) :

Soit deux droites parallèles d et d', un points A sur d, et un point A' sur d'.
On appelle alpha l'angle formé par A', A, et la droite d.
On s'aperçoit que lorsque l'on fait glisser A' sur d', l'angle alpha diminue.
Donc lorsque la position de A' tend vers l'infini, lim alpha = 0,
donc lorsque A' est à l'infini alpha = 0, donc l'angle devient plat,
donc à l'infini deux droites parallèle se confondent

Pouvez-vous me dire, ami mathématicien, si cette démonstration est juste ou m'expliquer pourquoi elle ne l'ai pas.

Soyez tout de même indulgent, je ne suis qu'en 3e

Merci d'avance.

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[sebsheep]

Dans la géométrie que tu connais, (celle d'Euclide), 2 droites parallèles NE se coupent JAMAIS. C'est dans les axiomes (la base de la base du raisonnement pour faire rapide) de la géométrie Euclidienne. Tu as certaines géométries (géométrie projective il me semble) où effectivement, les droites parallèles se coupent à l'infini : l'idée vient du fait que dans un dessin en perspective, les parallèles sont effectivement confondues à l'infini.

Dans le raisonement que tu fais, ce qui ne va pas c'est que tu manipules des limites, sans trop savoir ce que c'est, et que du coup, tu dis des bêtises : je suis d'accord, alpha TEND vers 0 quand "A' tend vers l'infini". Mais, A' ne sera jamais égal à l'infini, et donc alpha jamais égal à 0.

C'est comme si tu prend 1/x. Quand tu "fais tendre" x vers l'infini, 1/x TEND vers 0, mais ne vaudra JAMAIS 0.

Les limites et le concept d'infini sont des choses assez délicates à manier, avec des définitions précises nécessaires, même si de prime abord, ça semble facile. C'est pour ça qu'on attend la 1ere pour voir ça. Si tu veux t'avancer, prend les programmes officiels, et va dans l'ordre, ils ont été prévu pour être à votre niveau ; ou alors, trouve des sujet du concours général. La géométrie dont tu nous parles (droites parallèles se coupant à l'infini) n'est absolument pas au programme du lycée.

(et puis entre nous, le raisonnement que tu fais est un peu rapide ... comment peux tu dire avec certitude que alpha tend vers 0 ?)

[noir_sombre]

dans la geometrie projective :

Deux droites affines sont parallèles si, et seulement si, elles ont le même point à l'infini ".

cela ne veut en aucun cas dire que les droites parallele se touchent.

[sebsheep]

dans la geometrie projective :

Deux droites affines sont parallèles si, et seulement si, elles ont le même point à l'infini ".

cela ne veut en aucun cas dire que les droites parallele se touchent.

Au temps pour moi ! Merci de la correction.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite363d8178]

Bonsoir,

Une démonstration simple :

Prenons un triangle isocèle ABC dont les deux angles à la base (B & C) valent 90°, alors l'angle A vaut 0°.
À la base, la droite passant par BC coupe perpendiculairement les droites passant par AB et AC.
Ces deux droites sont ainsi parallèles et se confondent au point A d'angle 0°.

[Seirios]

Une démonstration simple de quoi ? Tu manipules des objets qui n'existent pas : le triangle ABC n'est pas bien défini.

En outre, tu réponds à une question qui a plus de trois ans...