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Problème de citerne



  1. #1
    dsb0

    Smile Problème de citerne


    ------

    Bonjour,

    j'ai de nouveau une question sur un exercice . C'est un problème de citerne. Elle est en forme de cylindre d'axe horizontal, de longueur L = 4 m et de rayon R = 50 cm.

    L'énoncé du problème est : "Sachant que le fluide contenu dans C (la citerne) s'écoule par le fond à un débit constant = 2 litres par heure, à quelle vitesse diminue le niveau du liquide quand la jauge indique que celui-ci (= la surface de celui-ci) se trouve à 75 cm du haut du réservoir ?"

    J'ai compris que si on trouvait la fonction h(t) qui donne la hauteur du liquide en fonction du temps et qu'on calculait sa dérivée avec la valeur de t appropriée, on obtiendrait la vitesse recherchée. Mais comme je ne voyais pas trop comment faire, j'ai regardé la solution... et dans la solution, on ne cherche pas à connaître quel est t au moment où h = 25 cm, ni la fonction h(t). Voilà comment ils font (il y a une étape plus bas que je ne comprends pas, et c'est ça que j'aimerais bien que quelqu'un m'explique ^^) :

    D'abord voilà le schéma (coupe de la citerne) que j'ai vite refait :



    Donc si on dit que après t heures, h = h(t) représente le niveau du liquide mesuré à partir du fond de la citerne, on a :




    Et pour le volume V restant dans la citerne, on a :



    Jusque là, c'est bon j'ai compris... Mais ensuite il y a deux égalités que je ne comprends pas du tout :

    "Ainsi, puisque V, h et varient en fonction de t :

    et "

    La dérivée V'(t) est constante et égale à , mais sinon je ne comprends pas comment on trouve les deux équations juste en-dessus...

    (Quant ce qu'il y a ensuite, la fin de la solution, là je comprends de nouveau. (La réponse est : cm/heure))

    Voilà, si quelqu'un m'expliquait je lui en serais très reconnaissant.

    -----
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  2. Publicité
  3. #2
    dsb0

    Re : Problème de citerne

    Petit up du sujet... car je ne vois toujours pas.

  4. #3
    Jeanpaul

    Re : Problème de citerne

    On utilise la formule des dérivées composées :
    dV/dt = dV/da . da/dt
    Cela donne la valeur de da/dt puisque dV/dt = delta
    Ensuite, on refait le même coup pour dh/dt et on élimine da/dt entre les deux.

  5. #4
    dsb0

    Re : Problème de citerne

    Bonjour,

    Merci beaucoup pour ta réponse. Je n'avais pas pensé à cette formule (que je ne connais pas depuis longtemps). Maintenant j'ai compris, même si la logique derrière tout ça me paraît un peu bizarre, peut-être parce que je n'avais jamais vu les dérivées utilisées de cette manière. Dire que V dépend de qui lui-même dépend de t (nombre d'heures écoulées), alors que V dépend directement de t...

  6. A voir en vidéo sur Futura

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