Suite

[inviteea8ef274]

Bonjour tout le monde,

Je n'ai pas bien compris la définition de la convergence d'une suite:

et on écrit

Pouvez-vous m'expliquer un peu cette définition? Et comment calculer la limite d'une suite par cette définition (exemple si possible)?

Et merci en tout cas.
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[Universus]

Salut,

Imagine-toi le plan Oxy. Dans ce plan, trace une certaine fonction f. Trace aussi les droites verticales qui coupent l'axe des x aux endroits où x prend une valeur entière comme ... -2,-1,0,1,2 ... La courbe de ta fonction croise chacune de ces droites une seule fois. L'ordonnée de chacun de ces points correspond aux termes de ta suite U. Ne considères donc que ces points d'intersection. Chacun de ces points, comme on l'a dit, a pour coordonnées (x,y) = (n, U_n) où n est un nombre naturel.

On dit qu'une suite converge à l'infini vers une valeur en considérant ce qui suit : Trace la droite horizontale croisant l'axe des y à la valeur . Autour de cette droite, trace deux droites parallèles à cette première droite, l'une située à une distance au-dessus de la première, l'autre à une distance en-dessous de la première. Ces deux dernières droites délimitent une région du plan pour laquelle tout point appartenant à cette région a une ordonnée comprise entre les valeurs et . Il est possible que quand tu regardes les points de ta suite , certains points se trouvent dans cette région. Plus intéressant encore, il est possible que tous les termes de la suite qui suivent un certain terme (c'est-à-dire, pour tout n N) soient dans cette région.

Évidemment par contre que si l'intervalle a une certaine étendue, que les derniers termes de la suite à partir d'un certain rang soient tous dans cet intervalle n'implique pas que ces termes se rapprochent au fur et à mesure qu'on considère des n plus grands de , mais seulement qu'ils ne s'en éloignent du moins pas trop. Alors l'idée est de considérer une autre valeur de , plus petite cette fois, afin d'obtenir une région plus mince autour de la droite y = . Il est fort probablement qu'il y aura moins de termes de la suite qui se trouveront dans cette région plus petite, mais peut-être existera-t-il un nouveau N' au-delà duquel (n N') tous les se trouveront encore dans cette région. L'idée est donc pour savoir si la suite des converge bien ou non vers de déterminer si peu importe le qu'on prend, il existera toujours un terme dans la suite qui sera suivi de termes compris exclusivement dans cette région. Si pour n'importe quel () il existe toujours un élément () suivi de exclusivement termes () compris dans un intervalle , alors la suite converge vers .

Pour utiliser ce résultat, il faut supposer (on en a souvent de bons indices) que la suite converge vers une certaine valeur . On va vouloir démontrer si cette supposition pour un précis nous permet de déterminer l'existence d'un N pour n'importe quelle valeur positive de . Bref est-ce que , N étant en quelque sorte dépendant de ?

Exemple. Prenons la suite . Vers quoi converge-t-elle? Les termes sont toujours positifs et ; il est donc fort probable que . Ainsi, est supposé plus petit qu'un certain . pouvant prendre n'importe quelle valeur réelle, il peut prendre en particulier une valeur , N étant à notre choix. Ainsi, . Or, N est à notre choix. On peut donc augmenter N comme on veut, se qui a pour effet de rapprocher d'autant plus de 0 et on a montré que pour tout n plus grand que N, la suite se trouve entre 0 et . Par contre, si on avait supposé l=1, on se serait rendu compte que amène une contradiction. Supposons . On en déduit que , soit . Ainsi, il n'existe pas pour cette valeur de un N tel que pour tous les n plus grands que N, , puisque n doit être plus petit que 2, soit égale à 1 (vu que n est un entier strictement positif). La suite ne converge donc pas vers 1.