Soit c d'équation y=1-x^2, M point de cette courbe d'abscisse x0 et T tangente courbe C au point M. T coupe l'axe des abscisses en A et l'axe des ordonnés en B.
Déterminer la position de M pour que l'aire du triangle AOB soit minimale.
Je ne vois pas trop comment faire merci de m'aider.
en fait comment calculer l'équation de la tangente, je sais que c'est y=f'(a)(x-a)+f(a) mais après je bloque
Bonjour,
Pour commencer tu pourrais appliquer ta formule au point M.
Tu aurais donc l'équation de la tangente au point M du type y=ax+b
Puis, grâce à l'équation de T, tu pourras caractériser les points A et B (abscisses et ordonnées), sachant que l'abscisse de B est 0 et l'ordonnée de A est 0.
Enfin, il ne reste plus qu'à appliqué la formule d'aire du traingle: A=Base* hauteur/2
Tu tomberas forcement sur une fonction en xo (l'abscisse de M).
Il ne te resteras donc plus qu'à conduire l'étude des variations de la fonction, et surtout, car c'est ça qui nous intéresse, trouver le minimum de ta fonction!
Ca paraît long comme méthode, mais je dirais que c'est la plus intuitive...
j'ai T=-2x^2-xo^2+1 comment trouver A et B ?
Tu a du te tromper dans ton calcul de la tangente:
Graphiquement la tangente à un point correspond à la direction de la courbe en ce point. C'est comme quand tu es dans un virage avec ta voiture: quand tu tourne pour suivre le virage c'est cool, puis au plein milieu du virage tu lache ton volant: ta voiture quitte le virage et part en ligne droite vers le bas côté.
La morale de cette histoire:
La tangente à ta courbe est une droite!!!
(Dans ta reponse, la tangente est une parabole....)
En fait:
Tu développes...
Pour trouver les coordonnées de A et B et bien c'est très simple: ils sont sur la droite tes points. donc ils vérifient l'équation de la tangente.
je dois me tromper j'ai y=-2xo*x-3xo^2+1
En reprenant le fil de mon dernier post:
T: y=-2x*xo+xo²+1
xo est un réel fixé: c'est l'abscisse de M, tu retrouve au passage que l'équation de ta tangente est une droite.
comment trouver les coordonés de A et de B ?
tu as: A(a,0) et B(0,b) avec a et b à déterminer.
Or A appartient la T donc ses coordonnées vérifient:
0=-2xo*a+xo²+1
Donc: a=(xo²+1)/(2xo)
De même B appartient à T donc:
b=xo²+1
Maintenant que tu as les coordonnées des points A et B, tu devrais être capable de trouver l'aire du triangle A0B non?
j'obtiens Aire=((xo^2+1)/2xo)^2*(xo^2+1)^2)/2 c'est ça ?
tout à fait.
Mais tu n'as toujours pas repondu à la question.
Il faut trouver M tel que l'aire du triangle soit minimale.
Tu as trouvé l'aire du triangle en fonction de xo, il faut donc que tu trouves le minimum de ta fonction --> étude des variations de f: x->((xo^2+1)/2xo)^2*(xo^2+1)^2)/2
j'obtiens f(x)=(xo^4+2xo^2+1)/4xo, et f'(x)=(-4xo^2-4)/(4xo)^2 après je bloque car je trouve un tableau de variations qui ne ressemble pas à la fonction
