Intégrale

[Kavey]

Bonjour,

sur un exercice d'intégrale lorsque le déterminant du polynôme au dénominateur est négatif que doit dont faire?

Mon prof nous a donné 2 méthodes mais je n'ai pas compris =S
c'est que lorsque A le coefficient de x, tel que Ax + B au numérateur, est égal à 0 et bien on peut factoriser le dénominateur sous forme canonique, mais je n'en vois pas l'intérêt =S...

Pourriez-vous m'aider?

2^ème petite question : lorsqu'on fait une décomposition en éléments simple, est-ce-qu'on trouvera toujours quelque chose de la forme Ln pour la primitive? Je pense que non mais j'aimerais être sûr =).

Je vous remercie d'avance pour votre aide.
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[Jeanpaul]

Si A=0, l'idée c'est que si le déterminant est négatif, il n'y a pas de racines réelles mais comme elles sont imaginaires conjuguées, le dénominateur d'écrit x² - S x + P en mettant en facteur ce qu'il faut. On voit que cela s'écrit aussi (x -S/2)² + P -S²/4 avec P - S²/4 >0
et on voit que cela ressemble à 1/(x² + 1) en faisant le changement de variable qui va bien. D'où un arc tangente.

Pour la seconde question, il vient un logarithme surtout si on a des racines simples au dénominateur.

[Kavey]

Merci pour ta réponse, mais je ne comprend pas ce que tu m'expliques avec A=0 =S
En fait je ne comprend pas ce que tu entends par "racines imaginaires conjuguées", pourrais-tu m'expliquer ton raisonnement à nouveau? =S

[Jeanpaul]

Oublie l'histoire des racines imaginaires conjuguées : on peut faire sans.
L'idée est de mettre le polynôme sous forme canonique, déjà en mettant a en facteur, il vient :
P(x) = a (x² + b/a x + c/a) et on reconnaît le début d'un carré parfait :
a [ (x + b/2a)² + c/a - b²/4a² ] = a [ (x + b/2a)² - (b²-4ac)/4a² ]
Quand le discriminant est négatif, la seconde partie est positive, donc ça s'écrit :
a [ (x+b/2a)² + A²]
Reste à faire un petit changement de variable : u = (x+b/2a) / A et on voit que ça s'écrit :
a/A² (u²+1) qui s'intègre en donnant un arc tangente.

[A voir en vidéo sur Futura]