TS Spé Maths

[menaoui]

bonjour juste une question:

comment demontrer que si p est un nombre premier alors (p-1)! n'est pas divisible par p? Merci
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[inviteff793f2b]

si p est premier, alors p est divisible par 1 ou par p.
(p-1)! = (p-1)*(p-2)*.......
(p-1)! est donc divisible par plein de nombres premiers inférieurs à p.
mais pas par p car le produit de ces nombres premiers ne peut faire p vu que p est premier

M'as tu compris ?

[menaoui]

oui j'ai compris ça! mais il y a pas une demonstration?

[inviteff793f2b]

utilise seulement les théorèmes sur les nombres premiers

et l'autre "tout nombre peut se décomposer par un produit de nombres premiers"
je pense que cela suffira

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0a0c7f79]

Ca vient du fait que si un nombre premier divise un produit de facteur, alors il divise un des facteurs du produit. Or là c'est pas possible vu que tous les facteurs sont inférieurs à p.

Si tu veux la démo demande

[menaoui]

oumerci je veux bien une demo car enfaite ce sont des exs d'intro à la lecon "divisibilité dans Z" donc je veux bien

[invite0a0c7f79]

Imaginons que d divise ab, d premier. On pose x le pgcd de a et d. d est premier, donc soit x=1, soit x=d.
Si x=1 alors avec le théorème de Gauss (quoique je suppose que tu l'as pas vu, je pourrais aussi te donner la démo, c'est pas long, mais j'ai besoin de Bezout que tu n'a pas du encore voir non plus, et pour démontrer Bezout c'est plus chaud), d divise b.
Si x=d, alors a=d (obligatoirement), donc d divise a puisque a=d.

Sur le coup je vois pas d'autre démo là

-- ça se généralise bien évidemment à un produit de n facteurs