Paul et Virginie, nouvelle histoire façon maths.

[invite0aeb10a6]

Bonjours à tous, je trouve le problème plutôt sympa mais là je sèche.

Le voici: Sur le couloir n°1, Paul part en crawl, côté plongeoir, tandis que Virginie part en même temps, à la brasse du côté du petit bain, au couloir n°2. Ils nagent à vitesses constantes. Ils se croisent une première fois à 5m de l'extrémité de la piscine, côté petit bain. Puis, tous deux, l'un après l'autre, font demi-tour et repartent l'un vers l'autre en conservant la même allure. Ils se croisent une deuxième fois à 2.5m de l'extrémité côté plongeoir.

1) Quelle est la longueur de la piscine?
2) Le lendemain, ils décident de faire une course de 50m en nage libre. (Paul en crawl et Virginie en brasse). Paul laisse 18m d'avance à Virginie. Quelle est la distance qui séparera nos deux nageurs lorsque le premier gagnera?

Merci d'avance pour votre aide!
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[invitea29b3af3]

salut

Pour le 1:
Appelons d la longuer de la piscine, v la vitesse de virginie et p la vitesse de paul. Après un certain temps t₁, Virginie a parcouru 5m et Paul a parcouru d-5. Je te laisse poser ça en équation (ça te fait 2 équ.).
Après un certain temps t₂, Virginie a parcouru d+2.5 et Paul a parcouru 2d-2.5. Je te aussi laisse poser ça en équation (ça te refait 2 équ.).
T'as donc 4 équations à 5 inconnues. Débarrasse-toi de t1 et t2 d'abord, puis plus tard tu verras que tu pourras poser x=p/v et donc tu auras une inconnue de moins et tu pourras donc résoudre.

Pour le 2, c'est à peu près le même principe j'imagine, donc essaie de le faire toi-même une fois que t'auras fait le 1, et redis-moi si ça va pas.

[invite0aeb10a6]

salut

Pour le 1:
Appelons d la longuer de la piscine, v la vitesse de virginie et p la vitesse de paul. Après un certain temps t₁, Virginie a parcouru 5m et Paul a parcouru d-5. Je te laisse poser ça en équation (ça te fait 2 équ.).
Après un certain temps t₂, Virginie a parcouru d+2.5 et Paul a parcouru 2d-2.5. Je te aussi laisse poser ça en équation (ça te refait 2 équ.).
T'as donc 4 équations à 5 inconnues. Débarrasse-toi de t1 et t2 d'abord, puis plus tard tu verras que tu pourras poser x=p/v et donc tu auras une inconnue de moins et tu pourras donc résoudre.

Pour le 2, c'est à peu près le même principe j'imagine, donc essaie de le faire toi-même une fois que t'auras fait le 1, et redis-moi si ça va pas.

C'est-à-dire T1= 5+d-5?

[invitea29b3af3]

Non. Qu'est-ce que tu as posé pour les 2 premières équations? Il faut simplement faire "distance=vitesse x temps"

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0aeb10a6]

Non. Qu'est-ce que tu as posé pour les 2 premières équations? Il faut simplement faire "distance=vitesse x temps"

5=v x t1
d-5= p x t1

[invitea29b3af3]

ok c'est juste, donc t1 = 5/v (d'après la 1e équation). Tu remplaces ça dans la 2e et tu obtiens: d-5=5p/v=5x (en posant x=p/v).
Tu fais pareil pour les 2 dernières équations (toujours en posant x=p/v) et tu pourras trouver d.

[invite0aeb10a6]

Par contre je ne comprends pas d'où vient ce x dans x=p/v?

[invitea29b3af3]

C'est nous qui posons x=p/v. On a le droit de le faire. p et v sont des variables, et si tu fais tous les calculs, tu vas te rendre compte qu'à chaque fois que p est au numérateur quelque part, v sera au dénominateur (c'est un hasard, mais ça tombe bien, sinon on ne pourrait pas résoudre l'exercice puisqu'il y aurait une inconnue de trop). Donc si tu remplaces p/v par une seule variable (x), ça réduit le nombre d'inconnues.

[invite0aeb10a6]

Ensuite
d+2.5=v x t2
2d-2.5=p x t2

C'est bien cela?

[invitea29b3af3]

Oui. Et maintenant tu isoles t2 dans la première équ, tu le remplaces par son expression dans la 2e équ, et tu verras que tu auras à nouveau le quotient p/v dans ton équation restante.

[invite0aeb10a6]

d+2,5=v x t2
2d-2,5=p x t2

t2=(d+2,5)/v donc si je remplace t2 par cette valeur dans la 2ème équation, cela donne: 2d-2,5=p x t2=p x (d+2.5)/v= (pd+2.5)/v= (p/v)(d+2.5)=(d+2.5)

[invitea29b3af3]

Ok c'est juste. Donc il ne te reste plus que 2 équations à 2 inconnues, x et d. Tu te débarrasses de x (comme tu as fait pour t1 et t2) et tu trouves d.
1)
2)

[invite0aeb10a6]

C'est un système mais je ne vois pas du tout. Peux-tu m'aiguiller?

[invitea29b3af3]

dans la première équation, tu isoles x:
et tu remplaces x par ça dans la 2e équation, et tu trouveras d.

[invite0aeb10a6]

dans la première équation, tu isoles x:
et tu remplaces x par ça dans la 2e équation, et tu trouveras d.

Je suis sur que je suis mal parti:







Pour l'instant c'est bon?

[invitea29b3af3]

oui, c'est bon

[invite0aeb10a6]

Comment faire pour retirer le carré?

[invitea29b3af3]

mets d en évidence (mais tu t'es trompé quelque part). Tu devrais avoir:

EDIT: ton erreur est à la 3e ligne, c'est 0.5d. Désolé je l'ai pas vue avant.

[invite0aeb10a6]

mets d en évidence

Pardon mais c'est-à-dire?

[invitea29b3af3]

tu n'as peut-être pas vu que j'ai édité mon dernier message donc relis-le si jamais. Et une fois que tu seras à d²-12.5d=0, ça c'est égal à d(d-12.5)=0 (c'est ça, mettre d en évidence) d'où tu peux trouver directement la valeur de d.

[invite0aeb10a6]

tu n'as peut-être pas vu que j'ai édité mon dernier message donc relis-le si jamais. Et une fois que tu seras à d²-12.5d=0, ça c'est égal à d(d-12.5)=0 (c'est ça, mettre d en évidence) d'où tu peux trouver directement la valeur de d.

Donc d=12,5m?! NON?!

[invitea29b3af3]

oui (c'est une petite piscine lol) (à moins qu'on ait fait une erreur quelque part.... mais je vois pas où)

[invite0aeb10a6]

PTDR Moi je m'attendais à du 50 m au moins! Bon je passe au 2) maintenant.

[invite0aeb10a6]

Pour le 2) comment faire?

[invitea29b3af3]

Là on est dans un autre cas (et apparemment pas dans la même piscine lol). On te dit simplement qu'ils font une course de 50m. Sers-toi de l'exercice 1 pour trouver x. Donc tu connaîtras p/v (mais pas p et v, uniquement le rapport p/v), ce qui t'aideras pour la suite.

[invite0aeb10a6]

Là on est dans un autre cas (et apparemment pas dans la même piscine lol). On te dit simplement qu'ils font une course de 50m. Sers-toi de l'exercice 1 pour trouver x. Donc tu connaîtras p/v (mais pas p et v, uniquement le rapport p/v), ce qui t'aideras pour la suite.

Mais après qu'en faire?

[invitea29b3af3]

Mais après qu'en faire?

d=12.5 mètres!!
donc x=....?

[invite0aeb10a6]

donc

[invite0aeb10a6]

Maintenant que je connais le rapport de vitesse entre Paul et Virginie, qui est de 1,5. Dois-je faire une mise en équation avec les 50m les 18m d'avance et ce même rapport?

[invitea29b3af3]

Oui. p/v=1.5 ça veut dire que Paul nage 1.5 fois plus vite que Virginie.
Ensuite, il te faut savoir lequel va arriver en premier.
En admettant que c'est virginie, elle mettrait donc un temps de:
t1 = (50-18)/v = 32/v
Maintenant en admettant que c'est paul qui arrive d'abord, il mettrait un temps de:
t2 = 50/p = 50/(1.5v) = 100/(3v) = 33.33/v
Or 33.33/v > 32/v, donc virginie arrive la première.

Donc on sait que virginie va parcourir 32 mètres, et paul un peu moins que 50 mètres (disons 50-a), tout ça dans le même temps t3:
32 = v*t3
50-a = p*t3 = 1.5v*t3
Ici, pareil qu'avant, on a 3 inconnues et 2 équations, mais on voit qu'on peut poser b=v*t3 et on n'a plus que 2 inconnues:
32 = b
50-a = 1.5b
Donc:
50-a = 1.5*32
Donc a=2.
Donc quand virginie arrivera, paul aura fait 50-2=48 mètres. La distance qui les sépare est donc 2 mètres.