composition d'homothetie

[cpalperou]

Bonjour,
Est-ce que la combinaison de 2 homothéties est toujours une homothétie? et comment on le démontre?
Si on se base sur 2 homothéties h et h':
h de centre d'affixe w et de rapport k s'écrit sous forme complexe: z'-w=k(z-w).
et h' de centre ' d'affixe w' et de rapport k' : z'-w'=k'(z-w').
La combinaison hoh' appliqué à z donne:
On applique h' à z pour obtenir z': z'=k'(z-w')+w'
et on applique h à z' pour obtenir z'': z''=k(z'-w)+w
soit: z''=k[k'(z-w')+w'-w]+w
que l'on doit écrire sous la forme z''-w''=k''(z-w'') et je n'y arrive pas !
pouvez vous m'aider SVP?
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[invitea3edf3aa]

Bonjour ,
Par h (MN) devient
(M₁N₁) = k (MN)
Par h' (M₁N₁) devient
(M'N') = k'((M₁N₁)
Donc par hh' (MN) devient

(M'N') = kk'(MN)
Donc
1/si kk'≉1 homothétie de rapport kk'

2/si kk' =1 translation ou, si les centres sont
confondus , transformation identique .

[invitea3edf3aa]

bonjour
Si l'on tient à utiliser les complexes, on écrira :
z' = k(z-w) + w
z" = k'(z'-w') + w'

z" =k'[k(z-w) + w-w' ] + w'

z" =kk'(z-w) + k'(w-w') + w'

On retrouve bien l'homothétie de rapport kk' quand
kk' est différent de 1 .