OMG J'Y COMPRENDS RIEN aidez moi svp

[invite6f56ea3c]

Voila mon exo, on vien juste d'aborder le chapitre et j'ai complétement zapper les notions de trigo:

Montrer que 1-cosx/x²=1-cos²x/x²(1+cosx)
En déduire la limite en 0 de x -> 1-cosx/x²

Si vous voulez bien me guider un peu ça serait sympa ^^
-----

[Coincoin]

Salut,
Pour la première question, ce n'est pas de la trigo mais une utilisation des identités remarquables que tu as apprises au collège... enfin si je comprends bien, car il manque de nombreuses parenthèses qui rendent le tout assez illisible.
Pour ce qui est de la trigo, je te conseille de relire ton cours, afin de ne pas "zapper" de notions importantes.

[Universus]

Bonjour,



Sinon, j'imagine que tu connais , ça pourrait servir.

[invite6f56ea3c]

Merci Universus, Oui j'ai essayé de travailler avec Lim Sinx/x quand x tend vers zéro mais je vois pas le bout du tunnel :s Jvais rééssayer ^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[Universus]

C'est à partir de là qu'il faut que tu connaisses ta trigonométrie. Sinon, il vaudrait mieux que tu suives le conseil de Coincoin.

[invite6f56ea3c]

J'ai revu mon cours et ça ne m'a pas trop aidé puisque je connaissais ma formule mais pour l'utiliser c'était autre chose.
J'ai trouvé Lim ( (1-cos(x))/x² ) = 1/2 quand x tend vers 0

[hhh86]

Sinon pour lim(x-->0)(sinx/x) tu peux écrire que c'est égal à lim(x-->0)([sin(0+x)-0]/x)=lim(x-->0)([sin(0+x)-sin(0)]/x)=sin'(0)=cos(0)

[Universus]

Sinon pour lim(x-->0)(sinx/x) tu peux écrire que c'est égal à lim(x-->0)([sin(0+x)-0]/x)=lim(x-->0)([sin(0+x)-sin(0)]/x)=sin'(0)=cos(0)

Et comment démontres-tu que ? La démonstration de base que je connais, partant de la définition de dérivée, utilise l'identité .

Enfin bon, pour la limite, repartons de la dernière relation de mon premier message :



On voit essentiellement que le but est d'obtenir afin d'utiliser la limite connue de cette fraction et, pour ce faire, on utilise l'identité trigonométrique .

[invite6f56ea3c]

=D J'ai fais comme universalus et ça marche super bien ^^ Merci infiniment =)

[invite6f56ea3c]

Universus* Pardon ^^"

[hhh86]

Et comment démontres-tu que ? La démonstration de base que je connais, partant de la définition de dérivée, utilise l'identité .

Enfin bon, pour la limite, repartons de la dernière relation de mon premier message :



On voit essentiellement que le but est d'obtenir afin d'utiliser la limite connue de cette fraction et, pour ce faire, on utilise l'identité trigonométrique .

Comment démontres tu que lim(sinx/x)=1 ?

Il est facile de démontrer que arcsin(x)’=1/√(1-x²) [Il faut pouvoir exprimer la longeur d'une courbe entre deux points à l'aide des intégrales]
(f-1of)'=f-1'of*f'
Donc (arcsin o sin)'(x)=arcsin'osin(x)*sin'(x )
<=>1=1/√(1-sin(x)²)*sin'(x)
On en déduit sin'(x)=1/1/√(1-sin(x)²)=√(1-sin(x)²)=cos(x)

[hhh86]

Si tu connais une démonstration de ton résultat admis sans utiliser le fait que sin'(x)=cos(x), j'attends de voir

[Universus]

Il s'agit essentiellement d'un preuve géométrique. Considérons le cercle trigonométrique (de rayon 1).Prenons sur ce cercle un point P : (cos x, sin x). Il est relié à l'origine O par une droite D qui, si on la prolonge, contient le point Q : (1, tan x). Si S est le point de coordonnées (1,0), on construit les triangles OSP et OSQ. L'aire de OSP est donnée par (1/2)sinx et l'aire de OSQ est donnée par (1/2)tanx.

Clairement, l'aire de la section de disque engendré par l'angle SOP = SOQ, et qui vaut (1/2)x (x en radians), est plus grande que l'aire de OSP et plus petite que celle de OSQ. Ainsi :



Le théorème du gendarme nous permet de dire ainsi qu'à la limite quand x tend vers 0, on a :

[Universus]

Je suis bien heureux d'avoir appris cette nouvelle démonstration hhh86. Néanmoins, entendons-nous sur le fait qu'elle est plus longue et plus ardue (en ce sens qu'il faut développer en plus les concepts de dérivée et d'intégrales définie et indéfinie, connaître certaines de leurs propriétés, connaître le théorème fondamental du calcul infinitésimal et trouver l'expression intégrale d'une longueur d'arc).

L'autre sens est plus aisé. Il suffit de quelques considérations géométriques et du concept de limite (plus le théorème des gendarmes) pour démontrer sinx/x --> 1 si x --> 0, tout cela étant aussi nécessaire dans ton approche. De la, on trouve la limite recherchée ici. Ensuite, on peut définir ce qu'est la dérivation pour obtenir les dérivées des fonctions trigonométriques et celles des fonctions trigonométriques inverses. Le concept d'intégration n'apparaît nulle part.

Bref, les deux approches sont l'inverse l'une de l'autre. Néanmoins, c'est très intéressant comme procédure aussi!

[hhh86]

Je suis bien heureux d'avoir appris cette nouvelle démonstration hhh86. Néanmoins, entendons-nous sur le fait qu'elle est plus longue et plus ardue (en ce sens qu'il faut développer en plus les concepts de dérivée et d'intégrales définie et indéfinie, connaître certaines de leurs propriétés, connaître le théorème fondamental du calcul infinitésimal et trouver l'expression intégrale d'une longueur d'arc).

L'autre sens est plus aisé. Il suffit de quelques considérations géométriques et du concept de limite (plus le théorème des gendarmes) pour démontrer sinx/x --> 1 si x --> 0, tout cela étant aussi nécessaire dans ton approche. De la, on trouve la limite recherchée ici. Ensuite, on peut définir ce qu'est la dérivation pour obtenir les dérivées des fonctions trigonométriques et celles des fonctions trigonométriques inverses. Le concept d'intégration n'apparaît nulle part.

Bref, les deux approches sont l'inverse l'une de l'autre. Néanmoins, c'est très intéressant comme procédure aussi!

En tout cas merci pour ta solution