[Ts] Juste 1 vérification Un = 4^n + 6 n – 1 = 9 k

[invitec38e3ca5]

Bonsoir!!

L'exercice semble tout bête mais voila, j'aurais besoin d'une vérification de ce que j'ai fait, je crois que je tiens le bon bout mais ça fait bien 3 ans que j'ai quitté la terminale et je n'ai plus fait de maths depuis, donc je fais selon mes souvenirs un peu fangeux.

J'ai fait ça en 3 étapes: initiation, hérédité et conclusion.

Démontrer par récurrence que : Pour tout entier naturel n, est un multiple de 9
(On rappelle que les multiples de 9 sont les entiers qui s’écrivent 9 k avec k entier)

Pour tout entier naturel n, appelons Q(n) la proposition «»
1°) Vérifions que la proposition Q(0) : «» est un multiple de 9.
avec k = 0. Donc est bien un multiple de 9.
La proposition Q(0) est vraie.


2°) Supposons que la proposition est un multiple de 9 pour un certain entier naturel n et démontrons que la proposition : u_(n+1) est multiple de 9

⁽ⁿ⁺¹⁾ d’après l’énoncé.









Or, on a :







Or, est un entier.

3°) Conclusion : Pour tout entier naturel n, la proposition Q(n) est vraie ou encore :
Pour tout entier naturel n, est un multiple de 9


Ps: c'est fou ce que c'est long de mettre des balises Tex partout, mais j'espère que c'est d'autant plus clair.
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[invite5150dbce]

Pour le caractère héréditaire il y a beaucoup plus simple :
Supposons que 4^n+6n-1=9k avec n entier naturel
On a alors 4^(n+1)+6(n+1)-1=4*4^n+6n+6-1=4*4^n+6n+5
Or d'après l'hypothèse de récurrence 4^n+6n-1=9k donc 4^n=9k-6n+1
On a alors 4^(n+1)+6(n+1)-1=4(9k-6n+1)+6n+5=4*9k-24n+4+6n+5=4*9k-18n+9=9(4k-2n+1)
La propriété est donc vraie au rang n+1

[invitec38e3ca5]

Ah oui merci du raccourci!
En fait il faut vraiment partir de (n+1) et essayer de retrouver n en isolant le reste.

Je me compliquais déjà beaucoup la vie en terminale.
Je suis parti pour faire une différence alors qu'on n'utilise ça que pour l'étude de signes je crois...

Merci!

[invite5150dbce]

Je suis parti pour faire une différence alors qu'on n'utilise ça que pour l'étude de signes

Non en fait on utilise le signe de la différence pour étudier le sens de variation de la suite

[A voir en vidéo sur Futura]