primitive

[invite7afa3ac7]

bonjour,

pour résoudre une équation différentielle avec la méthode de variation de la constante je dois primitiver :

e/(-1-t³) et je ne vois pas comment le faire ???

pouvez vous m'aider svp ?

( e = exp(1) )
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[inviteaf48d29f]

Bonsoir.
Pour intégrer ceci il faut que vous commenciez par décomposer votre fraction rationnelle en éléments simples. Je commence par tout factoriser par -e qui ne fait que gêner, c'est une constante, on la sort de l'intégrale et il ne reste plus qu'à trouver une primitive de .

Les deux premiers termes s'intègrent en fonction logarithmique (de la forme u'/u). Pour le dernier c'est un peu plus compliqué, il s'intègre en arctangente, il faut que vous le mettiez sous la forme u'/(1+u²). Ça ne devrait plut être trop dur avec ces indications. Bonne chance.

[invite7afa3ac7]

comment avez-vous fait pour trouver la décomposition en éléments simples ?

car 1/(1+t³)= 1/ ((t+1)(t²-t+1)) = A/(t+1) + B/(t²-t+1)

on cherche A et B :

pour A: je multiplie tout par (t+1) et en choisissant t=-1, je trouve A=1/3 mais pour B je ne vois pas comment m'en sortir ? peut-être ne puis-je pas faire la même méthode car je pensais tout multiplier par (t²-t+1) mais après je ne trouve pas un t particulier me permettant de trouver B !??

[invite7afa3ac7]

de plus pour arctan je ne vois pas du tout car (arctan)'(x) = 1/(1+x²)
et je ne vois pas comment mettre le dernier terme sous cette forme ??

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5150dbce]

comment avez-vous fait pour trouver la décomposition en éléments simples ?

car 1/(1+t³)= 1/ ((t+1)(t²-t+1)) = A/(t+1) + B/(t²-t+1)

on cherche A et B :

pour A: je multiplie tout par (t+1) et en choisissant t=-1, je trouve A=1/3 mais pour B je ne vois pas comment m'en sortir ? peut-être ne puis-je pas faire la même méthode car je pensais tout multiplier par (t²-t+1) mais après je ne trouve pas un t particulier me permettant de trouver B !??

Ne procède pas ainsi.
1+t³=(t+1)(t²-t+1) On est d'accord
1=t²-t+1-t²+t
<=>1=(t²-t+1)-t(t-1)
<=>1=(t²-t+1)-t(t+1-2)
<=>1=(t²-t+1)-t(t+1)+2t
<=>1=(t²-t+1)-t(t+1)+2t+2-2
<=>1=(t²-t+1)-t(t+1)+2(t+1)-2
<=>1=(t²-t+1)+(2-t)(t+1)-2
<=>3=(t²-t+1)+(2-t)(t+1)
<=>1=(t²-t+1)/3+(2-t)(t+1)/3
Donc 1/(t³+1)=[(t²-t+1)/3+(2-t)(t+1)/3]/[(t+1)(t²-t+1)]
<=>1/(t³+1)=1/[3(t+1)]+(2-t)/[3(t²-t+1)]
<=>1/(t³+1)=1/[3(t+1)]+(-1/2(2t+1-1)+2)/[3(t²-t+1)]
<=>1/(t³+1)=1/[3(t+1)]+(-1/2(2t-1)+3/2)/[3(t²-t+1)]
<=>1/(t³+1)=1/[3(t+1)]-(2t-1)/[6(t²-t+1)]+1/[2(t²-t+1)]

[invite5150dbce]

de plus pour arctan je ne vois pas du tout car (arctan)'(x) = 1/(1+x²)
et je ne vois pas comment mettre le dernier terme sous cette forme ??

t²-t+1
=(t-1/2)²-1/4+1
=(t-1/2)²+3/4
=(2t-1)²/4+3/4

Or 1/(t²-t+1)=(4/3)/[(4/3)(t²-t+1)]
Donc 1/(t²-t+1)=(4/3)/[(2t-1)²/3+1]
<=>1/(t²-t+1)=(4/3)/[[(2t-1)/√3]²+1]
<=>1/(t²-t+1)=(2/√3)[(2/√3)/[[(2t-1)/√3]²+1]]
<=>1/(t²-t+1)=(2/√3)*arctg'(u(t))*u'(t) avec u(t)=(2t-1)/√3

[invite7afa3ac7]

ok alors j'ai refait sur un papier ce calcul , je comprends mais comment penser à faire tous ces +1-1 etc... ???

en plus, je viens de me rendre compte que mon équa diff est :

u'(t) + (3t²/(1+t³)) u(t) = 1/(-1-t³) et non =1

du coup, avec la méthode de variation de la constante, avec la solution particulière : u₀(t) = K(t) * (-1-t³)/e)

j'ai K'(t)=e/(-1-t³)² donc c'est :

e/(-1-t³)² que je dois primitiver !!! donc c'est de la forme 1/u² donc la primitive c'est -1/u non ?

[invite5150dbce]

non la dérivée de -1/u est u'/u²

[invite7afa3ac7]

a oui !! du coup ça va être encore plus compliqué de primitiver :

e/(-1-t³)² !!!

il faut aussi faire une décompostion en éléments simples ??

mais suis-je bien sur la bonne solution particulière étant donné mon équation différentielle ???

[inviteaf48d29f]

Non, c'est n'importe quoi. Effectivement si vous vouliez trouver une primitive de e/(1+t³)² (des "-" partout dans une quantité qu'on élève au carré faut les enlever) il vous faudrait la décomposer en éléments simples, mais c'est parfaitement inutile.


Tout d'abord il faut que vous résolviez l'équation homogène :

Elle est a variable séparables et s'intègre immédiatement

le terme de droite est exactement sous la bonne forme

Par la méthode de variation de la constante, vous posez K=K(t), vous aurez alors

Il ne vous reste plus qu'à remplacer dans votre équation différentielle pour trouver une équation différentielle en K d'une simplicité extrême et a réinjecter le résultat dans votre solution.

[invite7afa3ac7]

euh...

nous pour résoudre l'équation homogène, on a appris :

(LH) : u'(t) + t²/(1+t^3) = 0

on pose phi '(t) = - 3t²/(1+t^3)
donc phi (t) = -ln (1+ t^3) avec t>-1

donc sol de l'équation homogène : u(t) = K * e^{-ln(1+t^3)} = K * (1/e) * (1+t^3)

et après on fait : u₀(t) = K(t) * (1/e) * (1+t^3) et on dérive on remplace dans l'éqa diff et on trouve K'(t) qu'on primitive pour trouver K(t) non ?

on peut pas faire comme ça ? car avec u'/u là jcomprends pas trop la suite ??

[invite7afa3ac7]

a oui non ,

quand j'ai , pour sol homogène, u(t) = K * e^{-(ln(1+t^3))} = K*e^{ln(1/(1+t^3))} = k*1/(1+t^3) et je trove comme vous !

ok j'essaie la suite !

[invite7afa3ac7]

je trouve pour (L) : u(t) = t/(-1-t^3) + K/(-1-t^3) !


est-ce bon ??

[inviteaf48d29f]

J'ai du mal à comprendre ce que vous faites, mais il y a une chose de certaine, votre résultat est faux. Pour en acquérir la conviction je vous enjoint à le dériver et a l'injecter dans votre équation différentielle, vous obtiendrez un résultat aberrant.
Je ne vois pas ce que phi est censé représenté, de plus dans l'équation que vous avez écrit au début de votre message précédent il manque un multiplication par 3u quelque part. Ce n'est pas la même équation que celle que vous aviez donné précédemment.

Si j'ai écrit c'est parce que la valeur de u saute au yeux à ce moment là, il n'y a même pas besoin d'intégrer vu la forme du terme de droite.
C'est comme si j'écrivais , soit


donc u*v=C où C est une constance u=c/v
Je pensais que ça se voyait mieux sous cette forme, mais dans tous les cas c'est une équations différentielles à variables séparables. Libre à vous de séparer les variables et d'intégrer, mais si vous le faites, il faut que vous le fassiez correctement.

Edit : Je viens de voir votre second message. Pour moi, tant qu'il y aura ces saloperies de "-" au dénominateur, je le considérerai comme faux. Pensez à arranger vos calculs.

[invite7afa3ac7]

a oui en fait le moins je peux le prendre dans la constante K à un signe près donc je trouve :


u(t) = -t/(1+t^3) + K/(1+t^3) ???

[inviteaf48d29f]

Vous avez deux fois le même dénominateur, vous pouvez encore factoriser. u(t)=(-t+K)/(1+t³)
Oui, c'est correcte, mais il faut vraiment que vous fassiez l'effort d'arranger vos calculs. Ce n'est pas seulement une question d'esthétisme. Le fait que vous aillez tant de mal à mener un calcul juste est symptomatique j'en ai bien peur.