Mise en équation

[invitea0c73c82]

Bonsoir tout le monde,

J'aurais besoin d'un peu d'aide de votre part s'il vous plaît afin de réussir mon exercice de mathématiques, je ne sais pas vraiment comment et par où commencer.

Voici l'exercice :


Des comprimés effervescents d'une substance sont commercialisés sous deux présentations différentes :

- En gélule, formée d'un cylindre de 0,8 cm de hauteur surmonté de deux hémisphères de 0.7cm de diamètre ( ainsi, la hauteur totale de la gélule est 0,8+2*0,35 = 1,5cm ).
- En cachet, de forme cylindrique de 0,5cm de hauteur.

Quel doit être le rayon du cachet pour que les deux comprimés aient la même durée de dissolution, sachant que cette durée est proportionnelle à l'aire extérieure de chaque comprimé ?

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[Duke Alchemist]

Bonsoir et bienvenue.

Il te faut exprimer :
- la surface totale de la gellule
- la surface totale de ton comprimé cylindrique de rayon r (à déterminer par la suite)

ATTENTION ! on parle bien de surfaces et non de volumes !

Duke.

[POPOUCOSAM]

Bonsoir,

la surface d' un cylindre est S=pi*r²*hauteur

[invitea0c73c82]

D'accord alors, j'appelle Ag l'aire de la gelule et Ac l'aire du cachet.

Ag = Aire du cylindre + Aire des deux demis-sphères

Mais je sais comment calculer le volume d'un cylindre mais pas son aire

[A voir en vidéo sur Futura]

[Duke Alchemist]

D'accord alors, j'appelle Ag l'aire de la gelule et Ac l'aire du cachet.

Ag = Aire du cylindre + Aire des deux demis-sphères

L'aire de deux demi-sphères identiques vaut la surface de la sphère

Mais je sais comment calculer le volume d'un cylindre mais pas son aire

cf message précédent (#3)

[invitea0c73c82]

Ah oui excuse moi =)

Donc,

Ag = pi*R²*h + [(4/3)*pi*R^3]
= pi*(0,35)²*0,8 + [(4/3)*pi*(0,35)^3]
= 0,50 cm²

Le cachet est un cylindre non ? j'appelle x le rayon.

Ac = pi*x²*0,5

[Duke Alchemist]

Ah oui excuse moi =)

Ce n'est pas à moi qu'il faut t'excuser. POPOUCOSAM a lu dans tes pensées, c'est tout

Donc,
Ag = pi*R²*h + [(4/3)*pi*R^3]
...

Aïe ! Tu n'as pas bien lu la remarque que j'ai faite dans le message #2 !
Autre chose : la surface d'une sphère de rayon R c'est

Le cachet est un cylindre non ? j'appelle x le rayon.
Ac = pi*x²*0,5

OK

[invitea0c73c82]

Ah oui c'est vrai que c'est la formule pour les volumes

Donc,

Ag = [pi*(0,35)²*0,8] + [4pi*(0,35)²]
Ag = 1,85 cm²

Oulah je sais pas si c'est ça non plus >.<

Ac = pi*x²*0,5

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Nous (toi et moi en relisant) avons oublié un terme pour Ac.
Les deux surfaces (disques) qui engendrent le cylindre que forme le comprimé : les bases du comprimé en somme...



Duke.

[invitea0c73c82]

Donc ce serait donc :

Ac = [(Pi * x²) * 2] * 0,5

??

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Ce que tu as écrit c'est le volume (encore lui ) du cylindre.

La surface du comprimé Ac = surface latérale du cylindre + 2*surface de la base soit :
Ac = 2pi*r*0,5 + 2pi*r²

Cette expression est à égaler à celle de Ag.
Sauf erreur de ma part (sait-on jamais...), je trouve un rayon r=0,52cm.
Si tu ne trouves pas ça, indique-moi le calcul que tu as fait pour comparer.

Cordialement,
Duke.

[invitea0c73c82]

Ok merci je fais le calcul.

[invite4b032af2]

Bonsoir à vous deux,

Ma prof' m'a donné le même exercice, je ne réussissais pas à le faire alors j'ai décidé de venir cherché un peu d'aide. Et me voila tombé sur ce topic .

Bonsoir,

la surface d' un cylindre est S=pi*r²*hauteur

L'expression de Ac ne serait donc pas plutôt : Ac = pi*r²*0,5 + (pi*r²) ?

[Duke Alchemist]

L'expression de Ac ne serait donc pas plutôt : Ac = pi*r²*0,5 + (pi*r²) ?

Non non...
cf message #11

Cordialement,

[invite4b032af2]

Quand j'applique la même expression pour Ag, je trouve :

Ag = 2*Pi*0,35 + 2*Pi*(0,35)² = 2,53 cm²

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

C'est possible
Je n'ai fait aucun calcul intermédiaire (que du littéral) mais je trouve à la fin, après résolution equation du second degré en r, un rayon de r=0,52cm
A vérifier bien entendu

Duke.

[invite4b032af2]

Bonsoir

Ag = 2*Pi*0,35 + 2*Pi*(0,35)² = 2,53 cm²

Ac = 2pi*x*0,5 + 2pi*x² = pi*x+2pi*x²

Donc,

2,53 = pi*x + 2pi*x² <=> 2pi*x² + pi*x - 2,53 = 0
a = 2pi b = pi c=-2,53

δ = b²-4ac ≈ 73,5

x = (-b+√73,5)÷2a ≈ 0,43

Je trouve donc que x = 0,43 =/.

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Ag = 2*Pi*0,35 + 2*Pi*(0,35)² = 2,53 cm²

Ac = 2pi*x*0,5 + 2pi*x² = pi*x+2pi*x²
...

Ce n'est pas un 2 (en gras) mais un 4.
La surface de deux demi-sphères de même rayon R est bien équivalent à la surface d'une seule sphère de même rayon R soit 4*pi*R², non ?
donc la suite est à revoir.

Cependant, on ne pourrait pas te repprocher ce résultat qui pourrait être cohérent (physiquement parlant)

[invite4b032af2]

En remplaçant le "2" par un "4",

Ag = 2*Pi*0,35 + 4*Pi*(0,35)² = 3,74 cm²

Ac = 2pi*x*0,5 + 2pi*x² = pi*x+2pi*x²

Donc,

2pi*x² + pi*x - 3,74 = 0
a = 2pi b = pi c=-3,74

δ ≈ 97

Et enfin, x = (-b+√73,5)÷2a ≈ 0,53 cm

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Je trouve 0,52cm.
L'erreur provient certainement de l'arrondi fait sur 3,74cm mais on ne peut pas te le reprocher (normalement) puisque tu as indiqué les calculs intermédiaires.

Duke.

[invite4b032af2]

Merci beaucoup pour ton aide !

[invite4b032af2]

Bonsoir !

Je relisais notre raisonnement quand je me suis aperçu que quelque chose n'allait peut-être pas.

La surface du comprimé Ac = surface latérale du cylindre + 2*surface de la base soit :
Ac = 2pi*r*0,5 + 2pi*r²

Cette expression est à égaler à celle de Ag.

Donc la surface latérale du cylindre = 2*pi*R*h

Ag = 2*Pi*0,35 + 4*Pi*(0,35)² = 3,74 cm²

Or là, pour la surface latérale du cylindre, je fais seulement : 2*pi*R.

Kiro.

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Bien vu. Comme quoi c'est bien de se relire
Je m'étais contenté du résultat numérique final que tu avais obtenu et je n'avais pas fait attention aux expressions intermédiaires...
Je rappelle que je n'ai fait aucun calcul intermédiaire

Alors, en effet, dans le calcul intermédiaire apparaît bien la hauteur de 0,8 pour la surface latérale du cylindre et je trouve Ag = 3,30cm² et on retombe sur la réponse finale qui est r = 0,52cm.

Encore désolé

Duke.