spécialité arithmétique

[invite3eef7911]

Bonjour à tous, pouvez vous m'aider svp? Me donner au moins des pistes pour que je fasse mon exo. Merci.

les nombres de mersenne sont les nombres premiers de la forme N=2^p - 1 avec p naturel.

a) pour a différent de 1 et n entier au moins égal à 2, simplifier la somme 1 + a +...+a^(n-1)
b) montrer que si a^n - 1 est un nombre premier alors =2.
c) montrer que si n est composé alors 2^n -1 est composé
d) montrer que si p est premier alors 2^p -1 est premier pour ceraines valeurs de p, et composé pour d'autres valeurs.


Merci.
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[Seirios]

Bonjour,

Toutes les questions tournent plus ou moins autour de la première question :

a) pour a différent de 1 et n entier au moins égal à 2, simplifier la somme 1 + a +...+a^(n-1)

Il s'agit de la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique.

[invite3eef7911]

Bonjour,

donc pour la a) il faut que je fasse 1+a+...+a^(n-1)=(1-a^n)/(1-a)

Mais comment pourrais-je simplifier cela?
Pouvez vous m'aider svp? Merci.

[Seirios]

Mais comment pourrais-je simplifier cela?

Ta somme est suffisamment simplifiée, tu as répondu à la question

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3eef7911]

Peux tu m'aider pour les autres questions stp? Merci.

[Seirios]

Grâce à la première question, tu peux écrire sous forme d'un produit ; cela devrait t'aider pour les questions suivantes en appliquant les définitions de nombres premier et composés.

[invite3eef7911]

désolé pour la question b) j'ai oublié quelque chose:
b) montrer que si a^n - 1 est un nombre premier alors a=2.

donc pour la b) il faut que je factorise a^n-1=(1-a^n)/(1-a).

Mais comment pourrais-je montrer qu'il est premier et que a=2?

[Seirios]

Tu as montré précédemment que ; en supposant que est premier, que peux-tu dire de a-1 ?

[invite3eef7911]

en supposant que a^n-1 est premier, on peut dire que a-1 est premier.

Mais comment le prouver? Peux tu m'aider stp? Merci.

[Seirios]

en supposant que a^n-1 est premier, on peut dire que a-1 est premier.

Si p est un nombre premier, alors il n'est divisible que pour 1 et par lui-même (dans ) ; donc si p=ab et p est premier, alors soit a=1 et b=p, soit a=p et b=1. Ici c'est la même chose.

[invite3eef7911]

donc comment pourrais-je répondre à la question b)? Aidez moi svp?

[Seirios]

donc comment pourrais-je répondre à la question b)? Aidez moi svp?

Qu'est-ce qui te gêne ? La réponse se trouve aux messages #8 et #10, il ne te reste qu'à appliquer le même raisonnement en changeant les notations...

[invite3eef7911]

je ne sais pas comment raisonner pour cette question. Peux tu me réexpliquer stp?

[invitebe0cd90e]

Salut,

Tu as un produit de deux termes: le premier est (a-1), l'autre est (1+a+...+a^(n-1)).

Si leur produit est un nombre premier p, alors l'un de ces deux termes est egal a 1, l'autre egal a p. Donc soit a-1=1, soit 1+a+...a^(n-1)=1... Que peux tu en deduire ?

[invite3eef7911]

Si leur produit est un nombre premier p, alors l'un de ces deux termes est egal a 1, l'autre egal a p. Donc soit a-1=1, soit 1+a+...a^(n-1)=1... Que peux tu en deduire ?

Pourquoi l'un des termes est égal à 1 et l'autre à p?

Je ne comprends pas. Pouvez vous m'aider svp? Merci.

[invitebe0cd90e]

Soit x, y deux nombres entiers. Si le produit xy est un nombre premier p, ca veut dire vraiment vraiment par definition que x et y sont des diviseurs de p..... Quels sont les diviseurs de p ? que peux tu en deduire sur x et y ?

[invite3eef7911]

Les diviseurs de p sont 1 et lui-même, c'est-à-dire p.

On peut en déduire que x=a-1=1, a=2 et
y=1+a+...+a^(n-1)=(1-a^n)/(1-a)=? mais ici je ne sais comment faire le calcul. Aidez moi svp?

[Seirios]

y=1+a+...+a^(n-1)=(1-a^n)/(1-a)=? mais ici je ne sais comment faire le calcul.

Tu n'as pas besoin de faire ce calcul, tu as montré ce que tu voulais, à savoir que a=2.

[invite3eef7911]

Peux tu m'aider pour la question c) stp?

[Seirios]

Si n est un nombre composé, alors il existe deux entiers naturels r et s tout deux différents de 1 et de n tels que n=rs ; tu peux exprimer comme un produit de deux termes grâce à la première question. Tu pourras ensuite en déduire que est composé en montrant qu'il est divisible par un naturel qui n'est pas 1 ou .

[invite3eef7911]

comment pourrais-je montrer que 2^n-1 est divisble qui n'est pas 1 ou 2^n-1?
aidez moi pour les questions c) et d) svp?

[invite3eef7911]

Pouvez vous m'aidez svp?

[invitebe0cd90e]

Essaie de te debrouiller un peu, on ne va pas faire l'exercie a ta place ! Phys2 t'as donné toutes les indications !

Tu as prouvé en a) que a^k-1=(a-1)(1+a+...+a^k-1)

Si n=rs, alors . Pose et applique la formule precedente !