Besoin d'aide pour un DM de Maths Terminale S

[invite4d474dbc]

Bonjour.
J'ai besoin d'aide pour un devoir maison de maths. C EST TRES TRES URGENT. Je bloque totalement.
L'exercice est:

1/ Soit f une fonction dérivable sur ]0;1[ telle que:
Lim f(x) = lim = 1/2 et
x -> 0+ x-> 1-

Pour tout reel x appartenant a ]0;1[ , f '(x) < 1

Quel est le nombre de solutions de l'équation (f(x)/x) =1 dans ]0;1[ ?

2/ Soit n un entier naturel avec n> 1
On définit pour tout réel x la fonction f_n(x) = x ⁿ⁺¹ - 2xⁿ +1
Démonter que l'équation f_n(x) = 0 admet une unique solution sur ]1;2[


Pour la question 2, j'ai pensé à dériver le polynome fn pour etudier ses variations. Mais après? Au secours!

Merci de m'aider précisément, je vous en serai très reconnaissant!
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[inviteec9de84d]

Salut,
1/ Je dirais 0. Par l'absurde : on fait l'hypothèse qu'il existe au moins une solution dans ]0,1[, alors

et alors en dérivant de chaque côté


ce qui est faux d'après l'hypothèse de l'exo :

2/ Tu as dérivé :


pour que s'annule, il suffit qu'elle change de signe sur ]1,2[, ou qu'elle admette un extremum qui vaut 0 sur ]1,2[

[invite4d474dbc]

Merci pour ta réponse, j'ai déjà les idées un peu plus claires.
Mais pour la premiere question, des camarades m'ont dit qu'il fallait utiliser le theoreme de la bijection. Dans ce cas, il ne peut pas y avoir 0 solutions... ???

[inviteec9de84d]

Ben le voilà (Wiki) :
si f est continue strictement monotone sur un intervalle I de bornes a et b

* pour tout élément k strictement compris entre les limites de f en a et b, il existe un unique c de I tel que f(c) = k
* pour tout élément k strictement compris entre les limites de f en a et b, l'équation f(x) = k d'inconnue x admet une unique solution dans I.

or tu remarqueras que les limites en 0 et en 1 sont égales dans ton cas........

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4d474dbc]

Merci...
Je vais essayer de me débrouiller avec ça même si j'y comprends pas grand chose...