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SPE DM division euclidienne & PGCD



  1. #1
    lapinou031

    Question SPE DM division euclidienne & PGCD


    ------

    Bonjour à tous,
    voilà,j'ai un Dm à faire, mais je n'arrive pas à démarrer. Je mets l'énoncé:

    1)a) Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2009 par 11.
    b)Déterminer le reste dans la division euclidiene de 210 par 11.
    c)Déterminer le reste dans la division euclidienne de 22009+2009 par 11.

    2)On désigne par p un nombre entier naturel. On considère pour tout entier naturel non nul n le nombre An=2n+p.
    On note dn le PGCD de An et An+1.
    a) Montrer que dn divise 2n
    b) Déterminer la parité de An en fonction de celle de p. Justifier.
    c)Déterminer la parité de dn en fonction de celle de p.
    En déduire le PGCD de 22009+2009 et 22010+2009.

    Voilà, alors honnêtement je suis un peu largué ^^
    Je vais aller bosser dessus & poster mes idées..
    Si vous pouviez m'aider, me donner des pistes, ça serait génial!

    Pour le 1) ça va à peu près même si je suis pas sûre de la rédaction!Mais doit-on démontrer ou on peut juste se servir d'un programme sur la calculatrice?
    Merci d'avance!

    -----

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  3. #2
    Jordaneque

    Re : SPE DM division euclidienne & PGCD

    Salut:

    1/ A) Reviens a la definition d'une division : a =bq +r ..
    B) Congruence modulo 11 de 2 puis 2^1; 2^2...
    C) D'apres de que tu as trouver a la B tu aura le reste de 2^2009 puis tu ajoute ta réponse a la A pour le "+2009"

    Apres je ne peux pas t'aider on as pas encore vu tout ça..
    Jordane

  4. #3
    Jeanpaul

    Re : SPE DM division euclidienne & PGCD

    Un truc qu'il faut savoir, c'est que le reste de la division par 11 d'un nombre écrit en base 10 vaut i-p où i est la somme des chiffres de rang impair et p la somme des chiffres de rang pair.
    Exemple : 2009 : i = 9+0 et p = 0+2 soit i-p=7, facile à vérifier en faisant la division.
    Pour 2^10=1024 (tous les informaticiens savent cela), combien vaut i-p ?

  5. #4
    lapinou031

    Re : SPE DM division euclidienne & PGCD

    Coucou, merci beaucoup Jordaneque et Jeanpaul pour votre aide

    pour la 1)c) je trouve que le reste est 8. C'est ça?

    Pour le 2) b), est-ce que je peux affirmer que 2n est toujours pair, ou je dois le démontrer? C'est alors simple.
    par contre pour la 2)c), je bloque

    Merci beaucoup

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Jeanpaul

    Re : SPE DM division euclidienne & PGCD

    Tu devrais détailler ton calcul de 1 c, on ne voit pas tes étapes.
    Quel est le reste de la division de 2^10 ? et 2^2009 ?
    Si tu prends le temps de démontrer que 2^n est pair, ça fera bien rigoler dans les chaumières.

  8. #6
    lapinou031

    Re : SPE DM division euclidienne & PGCD

    Rectification, pour la 1)c) je trouve un reste de 13. J'ai l'impression que je m'embrouille, c'est ça ou pas ?^^

    Merci beaucoup.

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  10. #7
    Jeanpaul

    Re : SPE DM division euclidienne & PGCD

    Oui, mais 13 ça se divise encore et là ce sera bon.

  11. #8
    lapinou031

    Re : SPE DM division euclidienne & PGCD

    13 je peux le remplacer par 2, c'est ça? Merci beaucoup Jeanpaul
    Par contre pour la 2)c), j'ai du mal ^^

    Entout cas merci beaucoup

  12. #9
    Jeanpaul

    Re : SPE DM division euclidienne & PGCD

    Si p est impair, An est impair et aucun nombre pair ne peut diviser un nombre impair (4 ne divise pas 21) donc dn ne peut être pair.
    Si p est pair, tu peux toujours l'écrire 2^q.i où i est impair.
    Regarde alors comment s'écrivent An et A(n+1)

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