Bonsoir,
J'ai un exerice qui me demande de trouver le reste depar 11.
J'ai cru comprendre que pour parvenir à une "congruence finale", je devais plus ou moins effectuer 2 par 11, ce qui me donnerait
Comment, à partir de là, puis-je trouver le reste (en l'occurrence 4) ?
Merci beaucoup
Salut,
Dans ce genre d'exercice, une idée est de trouver un multiple de 11 qui soit la somme de puissance de 2, si possible le moins possible, càd 2 (car plus simple pour la suite).
11 = 1+2+8
22 = 2+4+16
33 = 1+32 (youpie !)
1+32 est multiple de 11
Donc (1+32)C(0)[mod(11)] [C = est congruent à ]
Si a est multiple de b, tous les multiple de sont multiples de b.
Donc tous les multiples de (1+32) sont congruents à 0 modulo 11.
Donc, je peux multiplier (1+32) autant de fois par 2 que je veux, ça restera un multiple de 11.
1+32 = 2^n + 2^(n+5) pour n = 0
Tu démontres par récurrence que (2^n + 2^(n+5)) est multiple de 11 pour tout n entier naturel.
Alors tu as [2^n + 2^(n+5)]C[0] mod(11)
Prenons alors 2^19...
2^14 + 2^19 est donc multiple de 11.
2^9 + 2^14 est aussi multiple de 11.
Par conséquent, 2^19 est congruent à 2^9 modulo 11.
Tu remarques alors que (2^n)C(2^(n+10)) mod(11) pour tout n.
Donc 2^9 est congruent à 2^19 modulo 11.
Mais comme 2^n + 2^(n+5) est congruent à 0 modulo 11, -(2^n) est congruent à 2^(n+5) modulo 11.
Donc, avec n=4, 2^9 est congruent à - 2^4 modulo 11.
Par transitivité 2^19 est congruent à -16 modulo 11.
-16 est congruent à 6 modulo 11, et par transitivité,... je ne trouve pas 4 comme reste.
Shokin
Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
Il y a bien plus simple, par le théorème de Fermat. On en déduit immédiatement et à vue que 219 à la même congruence que l'inverse de 2, c'est à dire 6 (calculable à vue, là encore).
Cordialement,
Je n'ai pas compris, mmy. L'inverse de 2 est bien 0,5 ? Je ne suis pas un spécialiste de l'usage du théorème de Fermat.
Shokin
Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
L'inverse de 2 modulo 11.
1/2 modulo 11 vaut 6, parce que 6 fois 2 = 12, soit 1 modulo 11.
Quand à Fermat, si j'explique trop, ça fait l'exo à la place de Mr Babaz...
Cordialement,
Ah ! mais oui !
Shokin
Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
bonjour moi jai un probleme d'exercises osi je suis bloqué pouvé vous maidé !!! voila lénoncé :
n désigne un entier naturel non nul . quel est le reste de la division euclidienne :
de 2n^2 + n par n + 1 ????
si vous pouviez m'expliker comment aborder cette keston svp .
merci d'avance.
