DM de Maths, terminale S

[invite4d474dbc]

URGENT! Besoin d'aide pour un DM de Maths Terminale S

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Bonjour.
J'ai besoin d'aide pour un devoir maison de maths. C EST TRES TRES URGENT. Je bloque totalement.
L'exercice est:

1/ Soit f une fonction dérivable sur ]0;1[ telle que:
Lim f(x) = lim = 1/2 et
x -> 0+ x-> 1-

Pour tout reel x appartenant a ]0;1[ , f '(x) < 1

Quel est le nombre de solutions de l'équation (f(x)/x) =1 dans ]0;1[ ?

2/ Soit n un entier naturel avec n> 1
On définit pour tout réel x la fonction fn(x) = x n+1 - 2xn +1
Démonter que l'équation fn(x) = 0 admet une unique solution sur ]1;2[


Pour la question 2, j'ai pensé à dériver le polynome fn pour etudier ses variations. Mais après? Au secours!

Merci de m'aider précisément, je vous en serai très reconnaissant!
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[invitee0ecdd3f]

Bonjour
Pour la question 2 il faudra en effet que tu cherches la dérivée de fn(x) et tu pourras ensuite faire le tableau de variations de fn(x) et à partir de là essaye d'utiliser le théorème de la bijection. Il faut que sur ]1;2[ fn(x) soit continue et strictement croissante ou décroissante. Cherche son minimum et maximum et si maximum>0>minimum alors fn(x)=0 admet bien une seule solution sur ]1;2[. Essaye cette méthode et tiens moi au courant pour voir si ça marche

Par contre pour la question 1 je comprend pas ce que tu as écrit avec les limites. Tu n'as pas l'équation de la fonction?

[invite5150dbce]

URGENT! Besoin d'aide pour un DM de Maths Terminale S

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Bonjour.
J'ai besoin d'aide pour un devoir maison de maths. C EST TRES TRES URGENT. Je bloque totalement.
L'exercice est:

1/ Soit f une fonction dérivable sur ]0;1[ telle que:
Lim f(x) = lim = 1/2 et
x -> 0+ x-> 1-

Pour tout reel x appartenant a ]0;1[ , f '(x) < 1

Quel est le nombre de solutions de l'équation (f(x)/x) =1 dans ]0;1[ ?

2/ Soit n un entier naturel avec n> 1
On définit pour tout réel x la fonction fn(x) = x n+1 - 2xn +1
Démonter que l'équation fn(x) = 0 admet une unique solution sur ]1;2[


Pour la question 2, j'ai pensé à dériver le polynome fn pour etudier ses variations. Mais après? Au secours!

Merci de m'aider précisément, je vous en serai très reconnaissant!

1/Soit g : x|-->f(x)-x
Comme f est dérivable sur ]0;1[, alors elle est continue sur ]0;1[.
Or x|-->-x est une fonction polynôme, elle est donc continue sur IR et donc sur ]0;1[.
Donc g est continue sur ]0;1[ comme somme de fonctions continues sur ]0;1[

Dérivabilité :
g est dérivable sur ]0;1[ comme somme de fonctions dérivables sur
]0;1[
On a donc g'(x)=f'(x)-1
Or pour tout x appartenant à ]0;1[, f'(x)<1 donc f'(x)-1<0
<=>g'(x)<0
Il en résulte que g est strictement décroissante sur ]0;1[

On a lim(g(x))=lim(f(x)-x)=1/2-0=1/2
x-->0
lim(g(x))=lim(f(x)-x)=1/2-1=-1/2
x-->1-
Or comme 0 appartient à [1/2;-1/2], alors d'après le théorème de la bijection, l'équation g(x)=0 admet une unique solution sur ]0;1[.
Or pour tout x appartenant à ]0;1[, on a g(x)=0
<=>f(x)-x=0
<=>f(x)=x
<=>(f(x)/x)=1
L'équation (f(x)/x)=1 admet donc une unique solution sur ]0;1[