DM spé maths compliqué

[invite76e13483]

voila j'ai ce dm à rendre pour lundi mais c'est tout juste si j'arrive à faire la première question

On pose pour un entier naturel n : A=10^9n + 2*10^6n + 2*10^3n +1

1.a) Trouver suivant les valeurs de n, le reste de la de 10^n par 111.

b) En déduire le reste de la division de A par 111

2.a) On suppose que n est impair. Démontrer que A est divisible par 7, par 11 et par 13.

b) On suppose que n est pair. Démontrer que A a le même reste dans la division par 7, par 11 et par 13.

3. En utilisant la question 2. , trouver le reste de la division de A par 1001.


Voila pour la 1.a) j'ai trouver comme restes 1, 10 et 100 mais ma démonstration ne tient pas vraiment la route .

Cet exercice est sensé être un exo du bac, mais j'ai pas trouver, donc si vous vous trouver, merci de me le dire =) .
-----

[invite5150dbce]

voila j'ai ce dm à rendre pour lundi mais c'est tout juste si j'arrive à faire la première question

On pose pour un entier naturel n : A=10^9n + 2*10^6n + 2*10^3n +1

1.a) Trouver suivant les valeurs de n, le reste de la division euclidienne de 10^n par 111.

b) En déduire le reste de la division de A par 111

2.a) On suppose que n est impair. Démontrer que A est divisible par 7, par 11 et par 13.

b) On suppose que n est pair. Démontrer que A a le même reste dans la division par 7, par 11 et par 13.

3. En utilisant la question 2. , trouver le reste de la division de A par 1001.


Voila pour la 1.a) j'ai trouver comme restes 1, 10 et 100 mais ma démonstration ne tient pas vraiment la route .

Cet exercice est sensé être un exo du bac, mais j'ai pas trouver, donc si vous vous trouver, merci de me le dire =) .

si cet exo tombe au bac, ce sera très simple

Pour la question 1:
10^1=10[111]
10^2=100=-11[111]
10^3=-11*10=-110=1[111]
Or pour tout n appartenant à IN, il existe un unique couple d'entiers naturels (q,r) tels n=3q+r avec 0<=r<3
Si r=0, n=3q
D'où 10^n=10^3q=1^q=1[111]
Or 0<=1<111 donc 1 est le reste de la division euclidienne de 10^n par 111 pour tout n tel que n=3q avec q appartenant à IN
Si r=1, n=3q+1
D'où 10^n=10^(3q+1)=1^q*10=10[111]
Or 0<=10<111 donc 10 est le reste de la division euclidienne de 10^n par 111 pour tout n tel que n=3q+1 avec q appartenant à IN
Si r=2, n=3q+2
D'où 10^n=10^(3q+2)=1^q*100=100[111]
Or 0<=10<111 donc 10 est le reste de la division euclidienne de 100^n par 111 pour tout n tel que n=3q+2 avec q appartenant à IN

[invite5150dbce]

A=10^9n + 2*10^6n + 2*10^3n +1
10^9n=(10^3)^3n=1^3n=1[111]
2=2[111]
10^6n=(10^3)^2n=1^2n=1[111]
10^3n=(10^3)^n=1^n=1[111]
1=1[111]
Donc A=1+2*1+2*1+1=6[111]
Or 0<=6<111 donc 6 est le reste de la division euclidienne de A par 111

[invite5150dbce]

2/
n impair ==> il existe un eniter naturel k tel que n=2k+1. Tu remplaces n par 2k+1 et à partir de la congruence tu cherches le résultat

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite76e13483]

Merci beaucoup =) , par contre j'ai pas très bien compris le fait de remplacer n par 2k+1, je cherche la, mais avec les congruences je trouve pas

[invite5150dbce]

Merci beaucoup =) , par contre j'ai pas très bien compris le fait de remplacer n par 2k+1, je cherche la, mais avec les congruences je trouve pas

n est pair <=> 2|n <=> n=0[2]
n est impair <=> 2 ne divise pas n <=> n=1[2]

[invite76e13483]

Mais je vois pas en quoi ça aide pour le 2k+1 ^^

[invite5150dbce]

Coment ça tu ne vois pas ?
Révise tes cours a est congru b modulo n <=> n|(a-b)

[invite76e13483]

j'ai bien regarder, j'ai pas

[invite5150dbce]

dans ce cas démontre le ^^
Bonne chance (ça prend une demi page)
Ou fait moi confiance