La fonction exponentielle

[inviteb0f033fd]

Bonjour,

quelqu'un voudrait bien m'aider pour cette exercice ? (merci d'avance)

Soit la fonction f defini sur R:
f(x)=e^-x * (cos x + sin x)

1,a) Exprimer sin( x + ( pi/4)) en fonction de sin x et de cos x.
En deduire que, pour tout nombre reel x, on a :
f(x)=√2*e^-x * sin( x + pi/4).
b) Resoudre dans R l'equation f(x)=0
c) Justifier que la limite de f en + ∞ est 0

2, On designe par f ' la fonction derivee de f sur R
a) Demontrer que, pour tout nombre reel x :
f '(x)= -2e^-* sin x
b) Resoudre dans R l'equation f '(x)= 0

3, On note I l'intervalle [-(pi/4) ; (7*pi) /4]
Etudier le signe de f '(x) sur l'intervalle I et dresser le tableau de variation de f sur I


Merci bcp
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[Shadowlugia]

1) a) sin (a+b) = sin a cos b + sin b cos a
tu pourras facctoriser et remplacer (sin x + cos x) dans l'expression de f(x)

b) f(x) = 0 si et seulement si √2 e^x ou si sin (x+ pi/4) = 0
or l'exponentielle n'est jamais nulle, donc seulement sin (x + pi/4) = 0 facile à résoudre...

c) lim e^-x en + infini = 0 donc puisque sin n'a pas de limite...

2) a) dérivée qui ne pose pas trop de problèmes je pense à partir de la forme f(x) = e^-x (cos x + sin x) --> dérivée d'un produit (uv)' = u'v + uv'

b) équattion qui revient à sin x = 0 pas trop de difficulté je pense

3) signe de f'(x) dépend de celui de sin x qui change de signe tous les k*pi, k étant un entier relatif d'où le signe sur l'intervalle
et bien sûr l'équivalence : f' positive <=> f croissante et f' négative <=> f décroissante

avec toutes ces indiucations tu pourras t'en sortir de je pense ^^