La fonction exponentielle
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La fonction exponentielle



  1. #1
    padu17

    Exclamation La fonction exponentielle


    ------

    Bonjour,

    quelqu'un voudrait bien m'aider pour cette exercice ? (merci d'avance)

    Soit la fonction f defini sur R:
    f(x)=e^-x * (cos x + sin x)

    1,a) Exprimer sin( x + ( pi/4)) en fonction de sin x et de cos x.
    En deduire que, pour tout nombre reel x, on a :
    f(x)=√2*e^-x * sin( x + pi/4).
    b) Resoudre dans R l'equation f(x)=0
    c) Justifier que la limite de f en + ∞ est 0

    2, On designe par f ' la fonction derivee de f sur R
    a) Demontrer que, pour tout nombre reel x :
    f '(x)= -2e^-* sin x
    b) Resoudre dans R l'equation f '(x)= 0

    3, On note I l'intervalle [-(pi/4) ; (7*pi) /4]
    Etudier le signe de f '(x) sur l'intervalle I et dresser le tableau de variation de f sur I


    Merci bcp

    -----

  2. #2
    Shadowlugia

    Re : La fonction exponentielle

    1) a) sin (a+b) = sin a cos b + sin b cos a
    tu pourras facctoriser et remplacer (sin x + cos x) dans l'expression de f(x)

    b) f(x) = 0 si et seulement si √2 ex ou si sin (x+ pi/4) = 0
    or l'exponentielle n'est jamais nulle, donc seulement sin (x + pi/4) = 0 facile à résoudre...

    c) lim e-x en + infini = 0 donc puisque sin n'a pas de limite...

    2) a) dérivée qui ne pose pas trop de problèmes je pense à partir de la forme f(x) = e-x (cos x + sin x) --> dérivée d'un produit (uv)' = u'v + uv'

    b) équattion qui revient à sin x = 0 pas trop de difficulté je pense

    3) signe de f'(x) dépend de celui de sin x qui change de signe tous les k*pi, k étant un entier relatif d'où le signe sur l'intervalle
    et bien sûr l'équivalence : f' positive <=> f croissante et f' négative <=> f décroissante

    avec toutes ces indiucations tu pourras t'en sortir de je pense ^^

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