Equation - exponentielle

[invite8bf1f52b]

Bonjour à tous,
J'ai cette équation à résoudre, je sais que la solution est 0, mais je n'arrive pas à isoler x pour la démontrer, merci de m'aider :

e^(2x)+e^(x)+x-2=0

Encore merci
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[invite8bf1f52b]

Help svp, j'aurais vraiment besoin d'un coup de main :S

[inviteaf48d29f]

Je ne pense pas qu'il faille isoler x pour démontrer que la solution est 0.
Vous devriez pouvoir parvenir au résultat en utilisant le théorème de la bijection. Cette argument vous permettra d'affirmer qu'il existe une unique solution, comme 0 est solution, c'est elle.

Bien sûr il faut tout de même que vous montriez que f : x->e^2x+e^x+x-2 réalise une bijection de R dans R

[invite8bf1f52b]

Merci de votre réponse.
J'avais en effet utilisé le théorème des valeurs intermédiaires (qui d'après ce que je vois correspond au théorème de la bijection) pour trouver ceette solution ; ce qui m'embête, c'est que le 0 sort un peu "de nulle part", donc même si ce théorème permet d'affirmer que c'est la seule solution, j'espère qu'il suffira pour la démonstration =).
Encore merci pour votre aide.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf48d29f]

En fait il y a une légère différence entre le théorème des valeurs intermédiaires et celui de la bijection.
Le TVI permet d'affirmer l'existence d'une solution, mais en aucun cas son unicité. Il ne vous sert ici strictement à rien. Vous n'avez pas besoin de prouver qu'il existe une solution puisque vous savez que 0 est solution, or 0 existe donc il existe une solution.

Ce dont vous avez besoin c'est de l'unicité de la solution. En fait le théorème de la bijection serai ici un peu trop fort puisque vous n'avez pas besoin de redémontrer l'existence. La stricte croissance peut suffire.

f(0)=0 or f est strictement croissante donc pour x>0, f(x)>0. A fortiori f(x) différent de 0
de même si x<0.
0 est solution, aucun autre réel ne peut être solution. Vous avez tous ce qu'il vous faut.

Le fait que 0 sorte de nulle part n'est jamais un problème en maths. Si vous avez un problème vous pouvez très bien balancer la solution, montrer qu'elle est solution et qu'il n'y en a pas d'autre. C'est même en général ce qu'on fait, la solution on la cherche au brouillon.