Bonjour à tous,
voila j'ai un petit problème dans un exercice de fonction (en plus c'est une question classique qui revient souvent que j'aimerai régler).
Soit f la fonction définie sur R par f(x)= exp(x)/(exp(2x)+1)
1) on considere l'equation (E) : f(x)=x, d'inconnue x dans R.
Il faut prouver que (E) admet une solution unique a dans [0;+[ et que : 0<= a <= 1/2
Je comprends la question , mais c'est mon problème de rédaction qui m'empêche de bien justifier ma réponse.
Merci beaucoup.
Salut,
Ta fonction f vaut combien en 0 et sa limite enensuite il faut étudier sa dérivée (pour prouver sa monotonie) et donc qu'il y a un seul point qui est la rencontre entre f et g(x) = x
Pour prouver que
@+
ok merci
Bonjour ami(e)s Forumeurs
Pardonner moi ... mais pourriez vous développé d'avantage !?
Car Si j'ai bien compris F(x)= [exp(x)]/[exp(2x)+1)]
G(x)= x
toute les deux sont définie sur R.
Cherche t-on le point de rencontre de F(x)&G(x),Si oui .. pourquoi dites vous qu'il faut Chercher le "F(0)" alors qu'il faut Chercher le H(x)=F(x)-G(x) quand {x=0}
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Note : F(x)'=[-2exp(3x)+exp(2x)+exp(x)] / [(exp(x)+1)²]
H(x) =[exp(x)- x.exp(x)+x]/[exp(x)+1]
H(x)'=[2exp(x)+1] / [(exp(x)+1)²]
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Éclairé moi Sivouplait(et corrigé moi Surtout
)
en dérivée de F j'ai : exp(x)(1-exp(2x))/((exp(2x)+1)^2)
J'ai dit que f(x) est strictement décroissante et monotone sur o;+infinie . x est strictement croissant sur 0;+infinie donc qu'il y a qu'un seul point de rencontre possible.
Ensuite j'ai fait: (pour prouver que la solution unique a était compris entre 0 et 1/2) 0<= a <= 1/2
f(0)<=f(a)<=f(1/2)
1/2>= a>=0,4 >0 (f(a)=a , f décroissante)
bref, ma prof vient de me dire que je ne prouvais rien du tout...
c'est avec la relation des valeurs moyennes !
peux-tu expliquer?
Bonjour.
Personnellement, j'aurais fait l'étude de la fonction g(x) = f(x) - x.
Après quelques calculs, j'arrive à g'(x)<0 pour tout x.
La calcul de g(0) donne une valeur ......
la lim en +infini de g est ....... (vérifier que c'est cohérent avec la variation trouvée).
Je ne vois pas l'intérêt de cette partie(voir la suite)
On peut montrer directement que la racine a est dans [0;1/2] en calculant g(0) et g(1/2) avec le théorème des valeurs intermédiaires, on conclut très vite.
Duke.
Salut Duke,
J'ai calculé g(x) =f(x) -x et je l'ai dérivée. j'ai trouvé g'(x)= (exp(x)-exp(3x)-exp(4x)-2exp(2x)-1)/(exp(2x)+1)^2
g(0) = 1/2 g=-0,06 (l'énoncé me donne f(1/2)=0,44) donc pour l'encadrement c'est un peu compliqué.
concernant l'intérêt de cette partie, il y a l'utilisation de l inégalité des accroissement finis ensuite, avec lequel on justifie l'utilisation de l'IAF avec cette question
Re-Allez... voilà que je ne sais plus dériver sans me planterEnvoyé par maret
Je constate (en gras) que tu ne nous dis pas toutg(0) = 1/2 g=-0,06 (l'énoncé me donne f(1/2)=0,44)...
Duke.
Je vais redonner le contexte ça sera plus simple:
Soit f la fonction définie sur R par f(x)= exp(x)/(exp(2x)+1)
f'(x) = exp(x)(1-exp(2x)) / (exp(2x) + 1)^2
Les valeurs données sont: exp=2,72 racine carrée de exp=1,65 f(1/2) = 0,44 f(1)=0,32 f(2)=0,13
1) on considere l'equation (E) : f(x)=x, d'inconnue x dans R.
a)Montrer que E n'a pas de solution dans ]-;0[.
b) Prouver que (E) admet une solution unique "a" dans [0;+[ et que : 0<= a <= 1/2.
Re-
1.a. OK.
Tu as simplement montrer que f(x)>0 pour tout x donc il ne peut pas être égal à un x négatif, non ?
1.b. Donc, à partir des données :
Le début comme tu as ditou alorsJ'ai dit que f(x) est strictement décroissante et monotone sur o;+infinie . x est strictement croissant sur 0;+infinie donc qu'il y a qu'un seul point de rencontre possible.
la dérivée de g(x)=f(x)-x à savoir g'(x)=f '(x)-1 est toujours négatif (puisque f '(x)<0 et retrancher 1 ne va pas le rendre positif) donc g est strictement décroissante et ne s'annule qu'une fois et sur lR+ (car pas sur lR-)
Ensuite, tu étudies le signe de :
g(0) = f(0) - 0 ? 0 => ... (? à compléter par > ou <)
Ensuite, celui de
g(1/2) = f(1/2) - 1/2 ? 0 => ...
donc ...
C'est exactement ça ! merci!
On fait la dérivé de h(x)= f(x)-x ----> h'(x)= f'(x) -1 donc strictement décroissante monotone.
Après on calcule l'image : h(0)= 1/2 h(1/2)= -0,66 donc forcément (0;+infini) on a "a"=0 soit le point de rencontre.
Donc 0<= a <= 1/2.
Bonjour.
C'est quoi la fonction h ?
Duke.
A oui j'ai remplacé la lettre g par h.... g(x)=f(x)-x h(x)=f(x)-x sans conséquence? ( par convention on met plus h que g?)
Ok.
Il n'y a pas de conventions particulières. Il te suffit de la définir dans l'énoncé, c'est tout
Duke.
