Exercice sur probabilités conditionnelles

[invitea97b4264]

Bonjour à tous !

Je travaille en ce moment sur un devoir et je rencontre des difficultés dans cet exercice sur les probabilités. Voici l'énoncé :

Un élève de terminale S se rend au lycée
- ou bien à pied s'il est à l'heure
- ou bien en tram s'il est en retard ; s'il prend le tram il lui en coute 1euro50

Si l'élève est à l'heure un jour donné, la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est de 1/5.
Si l'élève est en retard un jour donné, la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est de 1/20.

Pour tout n entier non nul, on appelle R_n l'évènement "l'élève est en retard le jour n" et p_n la probabilité de R_n.
L'évènement contraire de R_n noté R_nbarre et sa probabilité est q_n.

On suppose p₁ = 0.

1) a. Calculer p₂ et q₂.
c. Déterminer les probabilités conditionnelles P_Rn(R_n+1) et P_Rnbarre(R_n+1)

Merci d'avance pour votre aide !
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[invitea97b4264]

Jai commencé à réfléchir sur l'exercice et jai raisonné de la facon suivante :

p₂ = p₁₊₁ = ? je ne vois pas comment le calculer

Si p₁=0 alors q₁=1
Donc q₂= q₁₊₁= ?

Jai besoin d'aide

[invitea97b4264]

N'y a t-il personne qui puisse m'aider sur ce forum ? J'ai vraiment besoin d'aide pour ce dm type bac

[invite8171ed83]

Bonjour Lisette,

Dans ce genre d'exercice on retranscrit les phrases mathématiquement:

L'énoncé dit ça :
Prop1: Si l'élève est à l'heure un jour donné, la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est de 1/5.
Prop2: Si l'élève est en retard un jour donné, la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est de 1/20.

soit:

Prop1: P(R2/R1barre) = 1/5

Prop2: P(R2/R1) = 1/20

On cherche P(R2) et on connait P(R1).

P(R2)=P(R2/R1)P(R1)+P(R2/R1barre)P(R1barre)

or P(R1barre)=q1 que tu as trouvé.

Je te laisse travailler.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea97b4264]

Quand tu écrit P(R2/R1) / représente le symbole de l'intersection ou celui de la réunion ?

[invitea97b4264]

Quand tu écrit P(R2/R1) / représente le symbole de l'intersection ou celui de la réunion ?

C'est bon jai compris ^^

[invitea97b4264]

C'est bon jai réussi pour le 1a en revanche je ne vois pas du tout comment faire pour le cas général au 1c ?

[invite8171ed83]

Prop1: Si l'élève est à l'heure un jour donné, la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est de 1/5.
Prop2: Si l'élève est en retard un jour donné, la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est de 1/20.

soit:

Prop1:

Prop2:

en effet tu n'as pas les mêmes notations:
lire P(A/B)=Probabilité que A se réalise sachant B

je suppose que ça correspond à ton

[invitea97b4264]

Prop1: Si l'élève est à l'heure un jour donné, la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est de 1/5.
Prop2: Si l'élève est en retard un jour donné, la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est de 1/20.

soit:

Prop1:

Prop2:

en effet tu n'as pas les mêmes notations:
lire P(A/B)=Probabilité que A se réalise sachant B

je suppose que ça correspond à ton

Quand tu écrit P(R1/R2) je le comprends plus comme P(R1intersectionR2) => je ne peut pas l'écrire mais c'est le contraire de U (=union) enfin tu connais mais je pense que les deux écritures sont correctes

[invitea97b4264]

Pour le 1c jai cherché et trouvé ceci :

P_Rn(R_n+1) = [P(R_nintersectionR_n+1)] / P(R_n) = 1/20

P_Rnbarre(R_n+1) = [P(R_nbarre.intersectionR_n+1)] / P(R_nbarre) = 1/5

je ne sais pas si c'est correct :S

[invite8171ed83]

P(A/B) désigne la probabilité conditionnelle de A sachant B ou

par contre je trouve les questions assez redondantes, je me demande si pour la première question tu ne devrais pas essayer de résoudre l'exo par un arbre (c'est assez courant au lycée).

[invitea97b4264]

oui c'est vrai jy avait pensé aussi. Mais que pense tu de ce que jai écrit au message 10 ?

[invite8171ed83]

c'est correct mais ça ne sert pas puisque par l'énoncé on a le résultat.

Lénoncé donne de suite:

PRn(Rn+1) = 1/20

PRnbarre(Rn+1) = 1/5

[invitea97b4264]

Ok je trouvait aussi ca un peu idiot mais il fallait le démontrer donc voila ^^ Je bloque aussi sur la suite de l'exo :

d. Exprimer p_n+1 en fonction de p_n et q_n.

e. En déduire que p_n+1 = 1/5 - 3/20p_n

[invitea97b4264]

si peut etre que cela est correct :

p_n+1 = P(R_n+1)
= P_Rn(R_n+1)*P(R_n) + P_Rnbarre(R_n+1*P(R_nbarre)

[invitea97b4264]

Si c'est ca ! Donc je trouve
p_n+1 = 1/20p_n + 1/5q_n

En revanche pour le mettre à la forme donnée comment fait-on ?

[invite8171ed83]

oui c'est correct:

on peut préciser que c'est la formule des probabilités totales.

pour la suite tu avais remarqué que ...

[invitea97b4264]

Bon ba finalement jai réussi a trouver ^^

[invitea97b4264]

Merci de m'avaoir aidé pour cette partie. Il me reste la fin de l'exo en voici l'énoncé :

2) Pour tout entier naturel non nul, v_n = p_n - 4/23
a. Démontrer que (V_n) est une suite géométrique de raison -3/20
b. Exprimer v_n puis p_n en fonction de n.
c. Justifier que (P_n) est convergente et calculer sa limite.

[invitea97b4264]

Jai réussi le 2a. Ainsi V_n+1 = -3/20V_n
Mais je ne vois pas comment faire pour la suite de l'exercice

[invitea97b4264]

Jai essayé d'exprimer V_n. On sait que c'est une suite géométrique, on peut donc l'écrire de la forme
V_n= qⁿV₀

On cherche donc V₀= p₀ - 4/23
Mais peut-on dire que p₀= 0 ? Rien ne nous le prouve .. :S

[invite8171ed83]

existe seulement donc la formule à utiliser est:

[invitea97b4264]

Ok donc ca donne V_n = -3/20^n-1 * -4/23 = 3/115^n-1 c'est ca ?

[invitea97b4264]

Est ce que quelqu'un pourrait me dire si c'est correct ou non svp =)