Contre-exemples sur les suites

[invitec916b746]

Bonsoir à tous,

Je suis actuellement en Terminal S, nous voyons les suites et mon prof nous a soumis une sorte de "jeux" enfaite, il s'agit de trouver des contres-exemples à des affirmations.

Cependant j'ai quelques difficultés, je ne vois même pas pourquoi l'affirmation donnée est fausse !

Voici les affirmations, toutes fausses, aux quelles je dois adresser un contre-exemple :
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a) Une suite qui diverge vers +infini est croissante à partir d'un certain rang

Mon raisonnement : Pour qu'une suite soit divergente vers +infini il faut obligatoirement qu'elle soit au moins une fois croissante, donc je ne comprend pas pourquoi l'affirmation est fausses.

b) Une suite strictement croissante à pour limite +infini

Mon raisonnement : Serait-il possible de trouver une suite croissante mais majorée ? ou qui admet une limite a (a Réel) ?

c) Une suite bornée est convergente

Mon raisonnement : Il faut en plus qu'elle soit monotone mais de là à trouver une expressions pour que je graph, je vois pas :s

d) Une suite majorée par 2 croissante converge vers 2

Mon raisonnement : On sait par définition dans le cours que elle converge vers un réel L inférieur ou égale à 2 mais comment illustrez ça avec une suite ?

e) Soit (Un) suite convergente, alors (Un) est à partir d'un certain rang, soit croissante majorée, soit décroissante minorée

Mon raisonnement : je pense que l'on peut faire appelle à la fonction cosinus/sinus

f) Si (Un) est une suite divergente dont tous les termes sont non nuls, alors la suite (1/Un) converge

Mon raisonnement : Si (Un) divergente en +inf ou -inf on sera retrouvera quand même avec 1/+inf et donc 0, et donc convergence vers 0

g) Si tous les termes d'une suite appartiennent à l'intervalle ]0,99; 1,01[, à parti d'un certain rang, alors la suite converge vers 1

Mon raisonnement : Si la convergence est vrai alors l'interface ]0,99; 1[, mais comment trouver un contre-exemple ?


Donc voilà, la plus part pour moi tiennent la route alors qu'elle sont fausses, donc si vous aviez des expressions de suite me permettant de grapher des contre-exemple pour démontrer que ces propositions ne tiennent pas.

Et dernière question pour la route : La suite Un = cos n est-elle convergente ?

Merci beaucoup.
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[invite1e1a1a86]

tout d'abord:

"La suite Un = cos n est-elle convergente ? "

non, c'est assez chiant à montrer (enfin, je n'ai pas de démo jolie et rapide) mais cos(n) ne converge pas.

ensuite, pour trouver des contre-exemples, pense à (-1)^n qui prend les valeurs 1 puis -1, puis 1, puis -1...

"a) Une suite qui diverge vers +infini est croissante à partir d'un certain rang "
une suite qui vaudra beaucoup puis à peine moins, puis beaucoup plus, puis à peine moins....


"b) Une suite strictement croissante à pour limite +infini"
il existe beaucoup de suite qui converge vers une limite finie et qui sont croissante..tu en as dans ton cours j'en suis certain

"c) Une suite bornée est convergente "
cf remarque juste avant le a)

"d) Une suite majorée par 2 croissante converge vers 2"
et si elle convergeait vers un nombre plus petit par exemple 1?
et si elle était constante?
d'ailleurs la remarque avant a) peut encore être servie

"e) Soit (Un) suite convergente, alors (Un) est à partir d'un certain rang, soit croissante majorée, soit décroissante minorée"
on peut imaginer une suite qui tendrait vers 0 par exemple, et qui serait positive, puis négative, puis positive....tout en décroissant en valeur absolue

"f) Si (Un) est une suite divergente dont tous les termes sont non nuls, alors la suite (1/Un) converge"
qui dit divergente vers +infini?

"g) Si tous les termes d'une suite appartiennent à l'intervalle ]0,99; 1,01[, à parti d'un certain rang, alors la suite converge vers 1"
et pourquoi pas 0,999? qui dit d'ailleurs qu'elle converge? (cf remarque avant a)) et elle pourrait même être constante...


je te conseille de relire ton cours sur les suites et la convergence et je te laisse formaliser ça.

[invitec916b746]

D'accord, merci beaucoup.

Concernant g) il ne me manque plus qu'un element, est-ce-qu'une suite constante converge ?

Parce que sinon je prend la suite Un = 1, ça rentre bien dans l'intervalle mais ne converge pas.

Quant à la suite e) peut-on dire qu'une suite tend vers 0 si quelques fois elle est au dessus et d'autres en dessous ?

quand à la f je ne vois pas du tout

[invite1e1a1a86]

que veut dire convergente?

car oui, une suite constante converge trivialement...


e) ça dépend, (-1)^n qui vaut-1 puis 1 puis -1 puis 1...ne converge pas
mais (-1)^n/n qui vaut -1 puis 1/2 puis -1/3 puis 1/4...

f) quelle est ta définition de divergente? chez moi divergente=non convergente (donc pas forcement divergeant vers +infini comme par exemple la suite n) donc des suites comme (-1)^n en font parti...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec916b746]

D'accord merci beaucoup pour tout.

[invitedae9b19d]

Salut, tu aurais la correction de cet exercice ?