Suite de Fibonacci
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Suite de Fibonacci



  1. #1
    invite4fb9c060

    Suite de Fibonacci


    ------

    Bonjour a tous

    Voila je suis nouveau sur ce forum , je me suis inscrit pour vous demander de l'aide , en effet jai du mal a répondre a 3 question de mon DM , si quelqu'un pourait m'éclairer ce serai pa mal ^^

    Alors voila mon DM porte sur la célèbre suite de fibonacci ( avec les lapin ), voici l'intitulé :

    Notons Fn le nombre de couples de lapins au mois n. On a F0. jusqu'a la fin du deuxième mois , la population se limite a un couple ( F1 = F2 = 1). En revanche , dès le début du troisième mois , nos lapin ont deux mois et ils engendrent un autre couple de lapin : F3 = 2 . Plaçons-nous maintenant au mois n et cherchons a exprimer ce qu'il en sera deux mois plus tard n+2: F(n+2) = F(n+1) + Fn

    1) Expliquer pourquois pour tout n ≥ 2 , On a F(n+2) = F(n+1) + Fn

    2) Soit (Un) une suite géométrique non nulle de raison r non nulle vérifiant pour tout n € N : U(n+2)= U(n+1) + U(n)

    Montrer que r vérifient la relation (1) r²=r+1 et en déduire que r = (1+√5)/2 ou r= (1-√5)/2

    Merçi de prendre le temps de m'aider

    -----

  2. #2
    phryte

    Re : Suite de fibonacci

    Bonjour.
    Pour le 1) tu fais l'arbre :
    http://www.enseignement.polytechniqu...arbre-bin.html

  3. #3
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Suite de fibonacci

    c'est un exercice de collège phytre , pas de l'X.

    même si l'enoncé est plutôt mal foutu.
    on peut comprendre.
    que les lapins ne meurent pas.
    qu'un couple qui a 2 mois refait un couple de petits , mais pas avant.

    suppose qu'on connait p(n) mais pas p(n+1).
    p(n+1) étant p(n) augmenté des naissances dans le mois précedent.

    on sait par contre que tous les lapins de la génération( n ) vont refaire un couple de bébé.
    mais pasceux qui sont nés à n+1 ( trop jeunes )

    d'ou p(n+2)= p(n+1) ( population existante ) + tous les couples nés dans le mois soit un couple pour chaque p(n)....
    Dernière modification par ansset ; 13/01/2010 à 14h09.

  4. #4
    invite4fb9c060

    Re : Suite de fibonacci

    Le calcul doit se faire par recurence ,voila ce ke jai trouver F(n) est définie sur IN le premier rang c'est pour n =0 c'est a dire verifier F(2) = F(1)+F(0)
    puis supposons que pour n appartient a IN F(n+2)=F(n+1)+F(n) et montrons que F(n+3)=F(n+2)+F(n+1) , mai je bloke un peu pour démontrer , merçi quand meme de votre réponsse ,

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Suite de fibonacci

    Citation Envoyé par Rams71 Voir le message
    Le calcul doit se faire par recurence ,voila ce ke jai trouver F(n) est définie sur IN le premier rang c'est pour n =0 c'est a dire verifier F(2) = F(1)+F(0)
    puis supposons que pour n appartient a IN F(n+2)=F(n+1)+F(n) et montrons que F(n+3)=F(n+2)+F(n+1) , mai je bloke un peu pour démontrer , merçi quand meme de votre réponsse ,
    mais je t'ai fais un resonnement par recurrence.
    il suffit de remplacer les mots par des lettres si tu veux.

  7. #6
    invite4fb9c060

    Re : Suite de fibonacci

    remplacer par quoi ? mon calcul est-il juste ?

  8. #7
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Suite de fibonacci

    Citation Envoyé par Rams71 Voir le message
    remplacer par quoi ? mon calcul est-il juste ?
    tu n'as pas fais de calcul, pardon,
    et re pardon parceque je ne t'ai pas vraiment fait de recurrence.
    mais un simple raisonnement.

    si f(n+2)=f(n+1)+f(n) c'est que la population a augmentée de f(n), soit du nombre de couple ayant 2 mois, tel que precisé dans l'énoncé.
    car : les lapins ne meurent pas, et à chaque fois , dès qu'ils ont deux mois , ils se reproduisent.

    c'est juste de la logique.

  9. #8
    invite4fb9c060

    Re : Suite de Fibonacci

    ah d'accord , merçi de la réponse mais mathématiquement sa ce traduit comment ?

  10. #9
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Suite de Fibonacci

    mais c'est ok quand même, mais c'est mieux si on comprend.
    si f(n+2)=f(n+1)+f(n)
    un changement de variable suffit pour passer à f(n+3)

  11. #10
    invite4fb9c060

    Re : Suite de Fibonacci

    un changement de variable ?

  12. #11
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Suite de Fibonacci

    ................

  13. #12
    invite4fb9c060

    Re : Suite de Fibonacci

    j'ai bien compris cela merçi , mais pour la suite de mon calcul je ne sait pas comment le transcrire

  14. #13
    invite4fb9c060

    Re : Suite de Fibonacci

    SVP pourriez-vous m'aider une derniere fois pour la suite du calcul ?? il me manque la fin , comment montrer que F(n+3) = F(n+2) + F(n+1) ??????

  15. #14
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Suite de Fibonacci

    bon, faisons le en lettre.
    à un instant donné : la population f(n) se compose:
    de a adultes
    de b ados ( pas encore 2 mois )
    et de c bébés
    donc f(n) =a+b+c

    le mois d'après:
    a ont fait c bebes
    b ont fait b bébés et sont devenus adultes
    c sont devenus ( ados )

    donc f(n+1)=(a+b) + c +(a+b) = 2a+2b+c

    pour f(n+2)
    a+b+c ont fait des bébés du même nombre.
    (a+b) est devenu ado

    f(n+2) = a+b+c +(a+b) +(a+b+c)
    soit 3a +3b +2c

    et 3a+3b+2c= ( 2a+2b+c) + (a+b+c )
    Dernière modification par ansset ; 13/01/2010 à 15h40.

  16. #15
    invite4fb9c060

    Re : Suite de Fibonacci

    Toutes ces lettrres me perturbe =S , mais merçi quand meme

  17. #16
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Suite de Fibonacci

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    bon, faisons le en lettre.
    à un instant donné : la population f(n) se compose:
    de a adultes
    de b ados ( pas encore 2 mois )
    et de c bébés
    donc f(n) =a+b+c

    le mois d'après:
    a ont fait c bebes
    b ont fait b bébés et sont devenus adultes
    c sont devenus ( ados )

    donc f(n+1)=(a+b) + c +(a+b) = 2a+2b+c

    pour f(n+2)
    a+b+c ont fait des bébés du même nombre.
    (a+b) est devenu ado

    f(n+2) = a+b+c +(a+b) +(a+b+c)
    soit 3a +3b +2c

    et 3a+3b+2c= ( 2a+2b+c) + (a+b+c )
    je recommence , en l'ecrivant autrement.
    population f(n) :
    a adultes reproducteurs que j'appelle A(n)
    b ado reproducteurs le mois suivant : Ad(n)
    c bébé reproducteurs dans 2 mois. bb(n)
    donc a+b+c =A+Ad+bb
    ( a, b, et c restent des constantes ).

    f(n+1) :
    A(n+1) devient = a+b
    Ad(n+1) = c
    bb (n+1)= (a+b ).... a et b ont fait des petits.

    f(n+2):
    A(n+2) devient =a+b+c
    Ad(n+2) = ( a+b)
    bb(n+2)= (a+b+c ) même raison qu'à la génération précedente.

    d'ou f(n+2) = A+Ad+bb = 3a+3b +2c

    et f(n+1)= 2a+2b+c
    et au depart
    f(n) = a+b+c

    tu as bien l'équation voulue , non ?
    j'avoue ne plus savoir comment l'expliquer.

  18. #17
    invite4fb9c060

    Re : Suite de Fibonacci

    ah daccord , merçi d'avoir prit le temps de m'expliquer

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