Suite de Fibonacci

[invite4fb9c060]

Bonjour a tous

Voila je suis nouveau sur ce forum , je me suis inscrit pour vous demander de l'aide , en effet jai du mal a répondre a 3 question de mon DM , si quelqu'un pourait m'éclairer ce serai pa mal ^^

Alors voila mon DM porte sur la célèbre suite de fibonacci ( avec les lapin ), voici l'intitulé :

Notons Fn le nombre de couples de lapins au mois n. On a F0. jusqu'a la fin du deuxième mois , la population se limite a un couple ( F1 = F2 = 1). En revanche , dès le début du troisième mois , nos lapin ont deux mois et ils engendrent un autre couple de lapin : F3 = 2 . Plaçons-nous maintenant au mois n et cherchons a exprimer ce qu'il en sera deux mois plus tard n+2: F(n+2) = F(n+1) + Fn

1) Expliquer pourquois pour tout n ≥ 2 , On a F(n+2) = F(n+1) + Fn

2) Soit (Un) une suite géométrique non nulle de raison r non nulle vérifiant pour tout n € N : U(n+2)= U(n+1) + U(n)

Montrer que r vérifient la relation (1) r²=r+1 et en déduire que r = (1+√5)/2 ou r= (1-√5)/2

Merçi de prendre le temps de m'aider
-----

[invite551c2897]

Bonjour.
Pour le 1) tu fais l'arbre :
http://www.enseignement.polytechniqu...arbre-bin.html

[invite51d17075]

c'est un exercice de collège phytre , pas de l'X.

même si l'enoncé est plutôt mal foutu.
on peut comprendre.
que les lapins ne meurent pas.
qu'un couple qui a 2 mois refait un couple de petits , mais pas avant.

suppose qu'on connait p(n) mais pas p(n+1).
p(n+1) étant p(n) augmenté des naissances dans le mois précedent.

on sait par contre que tous les lapins de la génération( n ) vont refaire un couple de bébé.
mais pasceux qui sont nés à n+1 ( trop jeunes )

d'ou p(n+2)= p(n+1) ( population existante ) + tous les couples nés dans le mois soit un couple pour chaque p(n)....

[invite4fb9c060]

Le calcul doit se faire par recurence ,voila ce ke jai trouver F(n) est définie sur IN le premier rang c'est pour n =0 c'est a dire verifier F(2) = F(1)+F(0)
puis supposons que pour n appartient a IN F(n+2)=F(n+1)+F(n) et montrons que F(n+3)=F(n+2)+F(n+1) , mai je bloke un peu pour démontrer , merçi quand meme de votre réponsse ,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

Le calcul doit se faire par recurence ,voila ce ke jai trouver F(n) est définie sur IN le premier rang c'est pour n =0 c'est a dire verifier F(2) = F(1)+F(0)
puis supposons que pour n appartient a IN F(n+2)=F(n+1)+F(n) et montrons que F(n+3)=F(n+2)+F(n+1) , mai je bloke un peu pour démontrer , merçi quand meme de votre réponsse ,

mais je t'ai fais un resonnement par recurrence.
il suffit de remplacer les mots par des lettres si tu veux.

[invite4fb9c060]

remplacer par quoi ? mon calcul est-il juste ?

[invite51d17075]

remplacer par quoi ? mon calcul est-il juste ?

tu n'as pas fais de calcul, pardon,
et re pardon parceque je ne t'ai pas vraiment fait de recurrence.
mais un simple raisonnement.

si f(n+2)=f(n+1)+f(n) c'est que la population a augmentée de f(n), soit du nombre de couple ayant 2 mois, tel que precisé dans l'énoncé.
car : les lapins ne meurent pas, et à chaque fois , dès qu'ils ont deux mois , ils se reproduisent.

c'est juste de la logique.

[invite4fb9c060]

ah d'accord , merçi de la réponse mais mathématiquement sa ce traduit comment ?

[invite51d17075]

mais c'est ok quand même, mais c'est mieux si on comprend.
si f(n+2)=f(n+1)+f(n)
un changement de variable suffit pour passer à f(n+3)

[invite4fb9c060]

un changement de variable ?

[invite51d17075]

................

[invite4fb9c060]

j'ai bien compris cela merçi , mais pour la suite de mon calcul je ne sait pas comment le transcrire

[invite4fb9c060]

SVP pourriez-vous m'aider une derniere fois pour la suite du calcul ?? il me manque la fin , comment montrer que F(n+3) = F(n+2) + F(n+1) ??????

[invite51d17075]

bon, faisons le en lettre.
à un instant donné : la population f(n) se compose:
de a adultes
de b ados ( pas encore 2 mois )
et de c bébés
donc f(n) =a+b+c

le mois d'après:
a ont fait c bebes
b ont fait b bébés et sont devenus adultes
c sont devenus ( ados )

donc f(n+1)=(a+b) + c +(a+b) = 2a+2b+c

pour f(n+2)
a+b+c ont fait des bébés du même nombre.
(a+b) est devenu ado

f(n+2) = a+b+c +(a+b) +(a+b+c)
soit 3a +3b +2c

et 3a+3b+2c= ( 2a+2b+c) + (a+b+c )

[invite4fb9c060]

Toutes ces lettrres me perturbe =S , mais merçi quand meme

[invite51d17075]

bon, faisons le en lettre.
à un instant donné : la population f(n) se compose:
de a adultes
de b ados ( pas encore 2 mois )
et de c bébés
donc f(n) =a+b+c

le mois d'après:
a ont fait c bebes
b ont fait b bébés et sont devenus adultes
c sont devenus ( ados )

donc f(n+1)=(a+b) + c +(a+b) = 2a+2b+c

pour f(n+2)
a+b+c ont fait des bébés du même nombre.
(a+b) est devenu ado

f(n+2) = a+b+c +(a+b) +(a+b+c)
soit 3a +3b +2c

et 3a+3b+2c= ( 2a+2b+c) + (a+b+c )

je recommence , en l'ecrivant autrement.
population f(n) :
a adultes reproducteurs que j'appelle A(n)
b ado reproducteurs le mois suivant : Ad(n)
c bébé reproducteurs dans 2 mois. bb(n)
donc a+b+c =A+Ad+bb
( a, b, et c restent des constantes ).

f(n+1) :
A(n+1) devient = a+b
Ad(n+1) = c
bb (n+1)= (a+b ).... a et b ont fait des petits.

f(n+2):
A(n+2) devient =a+b+c
Ad(n+2) = ( a+b)
bb(n+2)= (a+b+c ) même raison qu'à la génération précedente.

d'ou f(n+2) = A+Ad+bb = 3a+3b +2c

et f(n+1)= 2a+2b+c
et au depart
f(n) = a+b+c

tu as bien l'équation voulue , non ?
j'avoue ne plus savoir comment l'expliquer.

[invite4fb9c060]

ah daccord , merçi d'avoir prit le temps de m'expliquer