Congruences

[invite6c96930e]

Salut,


Allez un petit exo de congruence pour la route:

Montrer que , .
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[invite6c96930e]

Bon ben mon exo ne fait pas fureur ...dommage il était drôle.

[Seirios]

Allez un petit exo de congruence pour la route:

Montrer que , .

On a ; or , d'où . Donc ; or et , d'où la conclusion : .

[invitec317278e]

sinon par récurrence, comme d'hab

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

sinon par récurrence, comme d'hab

Je trouve tout de même qu'il est plus élégant de trouver un résultat dans passer par la récurrence (pas toujours quand même) ; la récurrence nécessite la réponse, alors que ce n'est pas le cas d'un raisonnement complet.

[invite6c96930e]

Bon je viens de trouver encore plus drôle:

Montrer que tout entier s'écrit comme somme de deux entiers premiers entre eux, strictement supérieurs à .

PS: Et euh Thorin...comment tu démontrerait l'hérédité de la proposition .

[Seirios]

PS: Et euh Thorin...comment tu démontrerait l'hérédité de la proposition

.

[invite6c96930e]

Je commence à me faire peur ... j'ai rien trouvé avec de la recurrence pour celle là mais comme toi Phys2 (mettons ça sur le compte de l'héliotropisme ).

Sinon pour les plus courageux la suite de l'exercice précedent:

Soit la suite strictement croissante des nombres premiers. Montrer que , on a .

[Universus]

Autrement, je me casse les dents sur ce problème

Montrer que tout entier s'écrit comme somme de deux entiers premiers entre eux, strictement supérieurs à .

Si n est impair, alors il suffit de prendre 2+(n-2), n-2 étant impair aussi. Si n est pair, il suffit de prendre ((n/2)-1)+((n/2)+1), chacun impair et n'étant ''séparés'' que de 2, ils ne peuvent être multiples en même temps d'autres nombres premiers.

Soit la suite strictement croissante des nombres premiers. Montrer que , on a .

En utilisant le postulat de Bertrand (j'ai fait une recherche sur le forum avant pour voir si c'était du niveau TS et plusieurs d'entre vous le connaisse, alors peut-être utilisez-vous le sans pour autant que sa démonstration soit au programme), c'est relativement simple. Au cas où, le postulat de Bertrand dit que pour tout nombre naturel plus grand ou égal à 2, il existe au moins un nombre premier entre n et 2n.

Supposons que l'inégalité ci-dessus soit vraie pour un certain k (elle l'est pour k=3), alors :

[invite6c96930e]

Bonsoir,


Premièrement, Universus ne t'inquiètes pas, si je pose des exos c'est que j'ai su les faire (donc pas le niveau de malade de certains autres exos postés sur le forum ) et ceci sans aucune notion de sup' (j'utilise jamais des notions de sup' ).

La démonstration pour la première question est bonne et c'est là que tu dois t'en servir pour la deuxième.

2. Soit la suite strictement croissante des nombres premiers. Montrer que pour tout , on a .

 Cliquez pour afficher

2. Pour , on a (la démonstration est immédiate, la plus petite valeur de donnant une valeur ).

Ainsi, nous avons démontré précedement que pouvait s'écrire sous la forme: avec et premiers entre eux et strictement supérieurs à .
D'autre part aucun (avec ) ne peut diviser (car si divise , divisant également divise ce qui est absurde car et sont premiers entre eux).
Il s'ensuit que les facteurs premiers de sont strictement supérieurs à donc sont supérieurs ou égaux à (plus petit nombre premier supérieur à ) et il en va de même pour .
On en conclut que car et n'ont pas de diviseurs premiers en commun, tout en étant supérieurs à avec .

D'où .

[Universus]

En effet, bien pensé ; parfois (souvent...), je ne vois pas plus loin que mon nez

[invite9a322bed]

Pour ton exo Zenzile, on peut le résoudre en utilisant le postulat de Bertrand.

[invite6c96930e]

Je vois deux problèmes avec le postulat de Bertrand:
1. On ne se sert pas de la première partie de l'exercice
2. C'est pas au programme de TS ( je me répète nan ? ...)