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Etude de fonction logarithme




  1. #1
    nephyt

    Etude de fonction logarithme

    Bonjour tout le monde

    J'ai un problème concernant un exercice de fonction avec des log.


    Partie A

    Soit f la fonction définie ]-1 ; +oo[ par f(x)=x/x+1 - 2ln(x+1).

    On m'a demandé de calculer sa dérivée, détudier son signe et faire les variation de f. Puis les limites en +oo et -1+.
    Mais je bloque sur la 3eme question.
    Calculer f(0) et montrer que f(x)=0 admet deux solution dont l'une non nulle et que l'on désignera par a.
    J'ai trouvé f(0)=0, mais je vois pas comment résoudre f(x)=0.

    Merci

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    Flyingsquirrel

    Re : Etude de fonction logarithme

    Salut,
    Citation Envoyé par nephyt Voir le message
    je vois pas comment résoudre f(x)=0.
    Ça n'est pas un problème, pour trouver le nombre de solutions d'une équation il n'est pas nécessaire de la résoudre. Ici il faut se servir du tableau de variation.

  4. #3
    nephyt

    Re : Etude de fonction logarithme

    Et bien je pense que j'ai un probléme avec mes limites.

    En +oo :

    lim x-> +oo (x/x+1) = 1
    lim x -> +oo (-2ln(x+1)) = -oo

    donc :

    lim x-> +oo f(x) = -oo

    En -1+

    lim x -> -1+ (x/x+1) = 0-
    lim x->-1+ 2(ln(x+1)) = +oo

    donc :

    lim x-> -1+ f(x) = +oo

    voilà je pense qu'il y a une erreur non ?

    d'ailleurs dans mon tableau de variation, j'en deduis que est :

    -croissante sur ]-1;0[
    -décroissante sur ]0;+oo[


  5. #4
    Flyingsquirrel

    Re : Etude de fonction logarithme

    Citation Envoyé par nephyt Voir le message
    En +oo :

    lim x-> +oo (x/x+1) = 1
    lim x -> +oo (-2ln(x+1)) = -oo

    donc :

    lim x-> +oo f(x) = -oo
    D'accord.
    Citation Envoyé par nephyt Voir le message
    En -1+

    lim x -> -1+ (x/x+1) = 0-
    Non ! Que vaut ? Donc que vaut ?
    Citation Envoyé par nephyt Voir le message
    lim x->-1+ 2(ln(x+1)) = +oo
    Non, cette limite vaut .

    De toute façon on ne peut pas conclure en calculant ces deux limites séparemment : cela donne une forme indéterminée. Il va falloir utiliser les croissances comparées.
    Citation Envoyé par nephyt Voir le message
    d'ailleurs dans mon tableau de variation, j'en deduis que est :

    -croissante sur ]-1;0[
    -décroissante sur ]0;+oo[
    Non. La fonction est bien croissante puis décroissante mais le changement de sens de variation ne se fait pas en 0.

  6. #5
    nephyt

    Re : Etude de fonction logarithme

    Ah bon, j'ai tellement de lacunes que je vois pas mes erreurs.

    J'ai d'abord calculer la dérivé, j'ai trouvé
    f'(x)= -2x/(x+1)²

    J'ai fais un tableau de signe je trouve :

    -2x positif sur ]-1;0[
    négatif sur ]0;+oo[

    -(x+1)² positif sur Df

    après j'ai conclus pour le signe de la dérivé :

    positive sur ]-1;0[ et négative sur ]0; +oo[ donc il en vas de même pour les variations de f non ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Flyingsquirrel

    Re : Etude de fonction logarithme

    Citation Envoyé par nephyt Voir le message
    J'ai d'abord calculer la dérivé, j'ai trouvé
    f'(x)= -2x/(x+1)²
    Moi j'ai .

  9. #7
    nephyt

    Re : Etude de fonction logarithme

    J'ai recalculer, et j'ai trouvé la même chose que toi. Je mettais donc trompé.
    C'est en en -1/2 que la fonction commence à décroître.

    Pour les limites je suis pas trés fort ^^ :

    lim x-> -1+ (x+1) = 0+

    et c'est la que je bloque.

    -1+/0+ ça fais pas de l'infinie ça ? -oo ?
    On se retrouve bien avec du oo - oo qui est une forme indéterminée.

    Une piste pour lever l'indétermination ?

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  11. #8
    SchliesseB

    Re : Etude de fonction logarithme

    oui, forme indéterminée

    une solution est de mettre sous la forme 1/(x+1)*(x-2(x+1)ln(x+1))

    et de connaitre la limite de la forme indéterminée xln(x) en 0

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