Etude fonction logarithme

[invitee694e9e4]

Bonjour,j'ai besoin d'un coup de pouce pour finir un exo dont voici l'énoncé

f(x) = 6x log x + 12x - 58
Etudier cette fonction. A-t-elle un ou plusieurs zeros et pourquoi ?

je trouve que f´(x)=6logx + 18

or pour faire f´(x)= 0 j'ai un petit souci lorsque j´arrive a:

logx=3

que dois-je faire maintenant? J'ai essayer de chercher sur le net comment résoudre
un exo similaire mais je n'ai rien trouver :S...

De plus quand on me demande les zeros que la fonction a cela fait bien référence
au nombre de fois que ma fonction f change de direction( c'est a dire quand f'(x)
change de signe ).

Merci d'avance
-----

[VegeTal]

Par définition ...

Quand on parle de 0 d'une fonction je pense que c'est trouver tout les nombres a,b, .... tels que f(a), f(b).... = 0

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

En base 10,
a = log(10^a) pour a réel,
ou
a = 10^log(a) pour a strictement positif

donc dans ton cas, logx=3 donne x = 10³.

Duke.

EDIT : Grillé...
Les zéros d'une fonction sont les racines de celle-ci.

[invitee694e9e4]

opss
La fonction f'(x)= 6l og+6x/lnx+12

et non pas ce que j'avais écrit avant...

donc j'en suit a f'(x)=0
6logx+6xlnx=-12


et apres?

[A voir en vidéo sur Futura]

[VegeTal]

tu essaye de t'en sortir

rappelle toi que

[Duke Alchemist]

Je ne suis plus d'accord avec ta dérivée...

Je préférais la première avec un ln(10) qui intervient

[invitee694e9e4]

arrrgggg
f'(x)= 6l og+6/lnx+12

[invitee694e9e4]

hmm mais si je pose g(x)=6xlogx
donc g'(x)=6logx+6/lnx ou non ??'

[Duke Alchemist]

(6xlog(x))' = 6(1*log(x)+x*1/(ln(10)*x)) = 6log(x)+6/ln(10)

ce que tu avais au début au ln(10) près...

voir là, paragraphe "dérivée", pour le ln(10).

[invitee694e9e4]

Merci j'avais deja trouvé,

mais maintenant je bloque ici pour faire f'(x)=0

j'en suis a

6/ln10(lnx+1)=-12

que dois-je faire maintenant ?

PS( la dérivée de f(x)=6x logx + 12x +30 est bien

f'(x)=6 log x + 6/ln10 + 12 ?)

Merci d'avance

[Duke Alchemist]

Re-

Je partirais plutôt de la forme suivante pour la dérivée :


Cette expression s'annule pour x = ... ...

Précision : il faut transformer 1+2ln10 sous forme d'un ln(...) à l'aide des propriétés de la fonction ln.

Cordialement,
Duke.

[invitee694e9e4]

Est ce que je peux dire que

6/ln10(lnx+1+2ln10)=6/ln10(lnx+lne+2ln10)=
6/ln10(ln(e*10*10*x)=6/ln10(ln (x100e))

[invitee694e9e4]

[Flyingsquirrel]

Salut,

Est ce que je peux dire que

6/ln10(lnx+1+2ln10)=6/ln10(lnx+lne+2ln10)=
6/ln10(ln(e*10*10*x)=6/ln10(ln (x100e))

Oui, tu peux.

[invitee694e9e4]

Et maintenant comment puis-je continuer ???

[Flyingsquirrel]

Ensuite il faut étudier le signe de la dérivée en sachant que

• si ;
• ;
• si .

[invitee694e9e4]

je suis en train d0essayer avec les exponentiel mais ne trouve rien ...AIDE SVP

[invitee694e9e4]

Ensuite il faut étudier le signe de la dérivée en sachant que

• si ;
• ;
• si .

et comment faire cela

[invitea3edf3aa]

bonjour
log(x) ou Ln(x) ? Prenons Ln(x) sachant que
log(x ) = Ln(x)/Ln(10)
On a f(x) = 6xLn(x)+12x -58
f '(x) = 6Ln(x) + 18
f(x) et f '(x) ne sont définies que pour x>0
Pour x = 0 on a f(0) = -58 et f ' (0) = -∞
Pour x → ∞ f(x) → ∞ et f '(x) → ∞
f '(x) = 0 pour x = e^-3 = 0, 049787 ...
Conséquences : quand x varie de 0 à 0, 049787 ,
f ' (x) est <0 donc f(x) décroît , de -58 à -58,2987
Quand x varie de 0 , 049787 à ∞ , f '(x) est>0 , donc f (x) croît
de - 58,2987 à ∞
Ainsi f(x) , qui est une fonction continue, constamment croissante
pour x>-58,2987 , change de signe pour
une certaine valeur de x et une seule , supérieure à -58 ,2987
On peut préciser :
Pour x = 3 ,f(3) = -2,2249 < 0
Pour x =3,1 , f(3,1) = 0, 244079 >0
Donc la racine est comprise entre 3 et 3,1 et elle est unique .

[Flyingsquirrel]

et comment faire cela

Tu as montré que . D'après les propriétés du logarithme népérien que j'ai rappelées plus haut, donc est du même signe que . Toujours grâce aux propriétés de , le terme

• s'annule quand c'est-à-dire quand ;
• est positif quand c'est-à-dire quand ;
• est négatif quand c'est-à-dire quand .

[invitee694e9e4]

Merci pour votre aide,

donc pour faire mon tableau de signe , dois-je inclure 0 on non (vu que f n'est définit que sur )o;+inifini( ??

Ainsi je trouve :

0 1/100e +infini
f(x) - +
f'(x) decroissant Croissant


A-t-elle un ou plusieurs zeros et pourquoi ?

Je dis que non car elle ne s'annule que pour 1/100e vu que son domaine de définition est )o;+inifini(.

cela suffit ?
Est-ce juste ?

Utiliser votre algorithme de Newton pour calculer le(s) zero(s).
Donner la valeur initiale que vous lui fournissez, ainsi que la valeur calculée par votre algorithme.
La valeur initiale fournit serait 1/100e(je ne sais pas ),la valeur calculer par votre algorithme (huuh )

Donner une valeur initiale pour laquelle votre algorithme ne va pas trouver de zero.
La valeur initiale est x plus grand (ou plus petit que) 1/100e

[Flyingsquirrel]

donc pour faire mon tableau de signe , dois-je inclure 0 on non (vu que f n'est définit que sur )o;+inifini( ??

Oui, en général on met un barre verticale dans le tableau de variation pour préciser que la fonction n'est pas définie en ce point.

Ainsi je trouve :

0                   1/100e                +infini
f(x)   -                             +
f'(x)   decroissant        Croissant

D'accord. Pour faire un tableau en utilisant des espaces il vaut mieux utiliser les balises [code] [/code] (icône ) sinon le forum supprime tous les espaces qu'il juge superflu et ton tableau ne ressemble plus à... un tableau.

A-t-elle un ou plusieurs zeros et pourquoi ?

Je dis que non car elle ne s'annule que pour 1/100e vu que son domaine de définition est )o;+inifini(.

On te demande si a plusieurs zéros et tu réponds que sa dérivée n'a qu'un seul zéro.

[invitee694e9e4]

ahhh ok Le nombre de zeros n'est pas le nombre de réponses de x pour
f(x)=0 et non pas pour f'(x)=0
c'est a dire
6xlogx+12x-30=0
6xlnx/ln10+12x-30=0
6(xlnx/ln10+2x-5)=0
xlnx/ln10+2x-5=0
(xlnx+2xln10-5)/ln10=0
e^{((xlnx+2xln10-5ln10)/ln10)}=0
(x²+20x-50)/10=0
1/10x²+2-5=0

est-ce juste , jusque la ?
donc je dois trouver le 2 racines et donc il y a 2 zeros ?

[invitee694e9e4]

e^{(xlnx+2xln10-5ln10)/ln10}=e⁰
1/10x2+2x-5=1
1/10x²+2x-6=0
DSL

[Flyingsquirrel]

e^{(xlnx+2xln10-5ln10)/ln10}=e⁰
1/10x2+2x-5=1

Comment fais-tu pour passer de la première ligne à la seconde ?

De toutes façons je ne pense pas que l'on puisse résoudre l'équation . Quoi que tu fasses il restera toujours un terme ou qui t'empêchera de mettre l'équation sous la forme

Ceci dit, on peut quand même trouver le nombre de zéros de en utilisant son tableau de variation et le théorème des valeurs intermédiaires.

[invitee694e9e4]

Oui c'est vrai

donc je dis qu'elle a 2 zeros car f
est strictement monotone sur lintervale )0;1/100e( et sur )1/100e;+infini( donc d'apres le théorème des valeurs intermédiares pour tout k compris entre f(0)et f(1/100e) , l'équation f(x)=K admet une solution unique dans )0;1/100e( .
Idem pour )1/100e;+infini( .

Mais pour le premier intervale le 0 n'est pas compris donc est-ce que je peux ecrire cela ? ou bien la fonction ne contient qu'un zeros precisement a cause de cela ?

[invitee694e9e4]

[danyvio]

Bonjour,j'ai besoin d'un coup de pouce pour finir un exo dont voici l'énoncé

f(x) = 6x log x + 12x - 58
Etudier cette fonction. A-t-elle un ou plusieurs zeros et pourquoi ?

je trouve que f´(x)=6logx + 18

or pour faire f´(x)= 0 j'ai un petit souci lorsque j´arrive a:

logx=3

que dois-je faire maintenant? J'ai essayer de chercher sur le net comment résoudre
un exo similaire mais je n'ai rien trouver :S...

De plus quand on me demande les zeros que la fonction a cela fait bien référence
au nombre de fois que ma fonction f change de direction( c'est a dire quand f'(x)
change de signe ).

Merci d'avance

Je ne vois pas trop l'intérêt de passer par les dérivées : f(x) n'est défini que pour x> 0 (because log(x).
6x, log(x) et 12x sont strictement croissantes donc f(x) est toujours strictement croissante.

f(1)=-46
D'autre part, f(x) tend vers l'infini quand x tend vers l'infini(je te laisse justifier).
Donc f(x) passe par la valeur 0 (et une seule fois).
Mon raisonnement vous semble-t-il pertinent ?

[Flyingsquirrel]

d'apres le théorème des valeurs intermédiares pour tout k compris entre f(0)et f(1/100e) , l'équation f(x)=K admet une solution unique dans )0;1/100e( .

À condition que soit dans ce qui n'est pas le cas de 0. Par contre appartient bien à (car est négatif) donc l'équation admet une (unique) solution sur l'intervalle .

Mais pour le premier intervale le 0 n'est pas compris donc est-ce que je peux ecrire cela ?

Non, on ne peut effectivement pas parler de ...

Pour bien faire il faudrait montrer que est strictement négative sur puis en déduire que l'équation ne peut pas avoir de solution sur cet intervalle.

[invitee694e9e4]

Je ne vois pas trop l'intérêt de passer par les dérivées : f(x) n'est défini que pour x> 0 (because log(x).
6x, log(x) et 12x sont strictement croissantes donc f(x) est toujours strictement croissante.

f(1)=-46
D'autre part, f(x) tend vers l'infini quand x tend vers l'infini(je te laisse justifier).
Donc f(x) passe par la valeur 0 (et une seule fois).
Mon raisonnement vous semble-t-il pertinent ?

Mais est -ce que le fait que f(x) tend vers l'infini quand x tend vers l'infini me permet deja de conclure qu'il n'y aura qu'une valeur 0 ?