equation diff et croissance expo

[neo62950]

bonjour a tous, je solicite votre aide car je suis coincé sur un exo de math. voici l'enoncé:

On veut vider une citerne de 1m x 1m x 1m en ouvrant la vanne de vidange. on peut admettre que le debit est proportionnel a la hauteur d'eau.
Quand la cuve est pleine, le debit est de 1L par seconde.

Au bout de combien de temps la citerne sera a moitié? Au 3/4? peut on la vidé entierement?

Voila donc je bloque dessus depuis hier je n'arrive pas a démarer quelqu'un pourrait il me mettre sur la voie

Merci a tous
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[Rhodes77]

Bonjour,

L'énoncé vous dit que le débit est proportionnel à la hauteur d'eau . On peut donc écrire en tout instant : où et

A la conversion L-mètre cube près, le débit s'écrit comme une variation de volume pendant un laps de temps : .

Je crois que vous avez maintenant tout sous la main pour avancer.
Où bloquez-vous ?

[portoline]

bonjour a tous, je solicite votre aide car je suis coincé sur un exo de math. voici l'enoncé:

On veut vider une citerne de 1m x 1m x 1m en ouvrant la vanne de vidange. on peut admettre que le debit est proportionnel a la hauteur d'eau.
Quand la cuve est pleine, le debit est de 1L par seconde.

Au bout de combien de temps la citerne sera a moitié? Au 3/4? peut on la vidé entierement?

Voila donc je bloque dessus depuis hier je n'arrive pas a démarer quelqu'un pourrait il me mettre sur la voie

Merci a tous

bonjour
cette fonction est du type -e^-x ; en abscisse cinq unités font 1000secondes et en ordonnée une unité fait 1000litres ( la quantité d'eau restante dans la citerne à l'instant t ) on voit se suite que la citerne ne sera jamais entièrement vide puisque l'ordonnée y=0 est asymptote à la courbe

[Rhodes77]

bonjour
cette fonction est du type -e^-x ; en abscisse une unité fait 1000secondes et en ordonnée une unité fait 1000litres ( la quantité d'eau restante dans la citerne à l'instant t ) on voit se suite que la citerne ne sera jamais entièrement vide puisque l'ordonnée y=0 est asymptote à la courbe

Je doute que ce soit qui est à valeur dans R-.
Quelle quantité selon vous est donnée par cette fonction ? Si vous parlez de la hauteur d'eau, il faut s'attendre plutôt à une fonction du type où ha, hb et tau sont à déterminer (certaines valeurs peuvent même être facilement déterminées en invoquant la physique)

[A voir en vidéo sur Futura]

[portoline]

Je doute que ce soit qui est à valeur dans R-.
Quelle quantité selon vous est donnée par cette fonction ? Si vous parlez de la hauteur d'eau, il faut s'attendre plutôt à une fonction du type où ha, hb et tau sont à déterminer (certaines valeurs peuvent même être facilement déterminées en invoquant la physique)

on peut déterminer telle ou telle fonction : h(t) par ex ; moi j'ai choisi q(t) (la quantité d'eau restante ) et donc (-e^-x) convient bien ...

[Rhodes77]

La quantité d'eau restante et la hauteur d'eau restante ne diffèrent que par la surface de la cuve qui est constante ! La fonction que vous proposez ne renvoie que des nombres négatifs, ce n'est pas compatible avec "la quantité restante d'eau" que vous citez. J'insiste.

[neo62950]

merci d'avoir repondu. Je comprend mais si ce qui a la fin me donne 1000s pour la vider a moitié et 3000s pour les 3/4. Et on peut donc la vider entierement car tant que h(t) est superieur a 0, Q(t) l'est aussi.

Est ce correct?

[portoline]

La quantité d'eau restante et la hauteur d'eau restante ne diffèrent que par la surface de la cuve qui est constante ! La fonction que vous proposez ne renvoie que des nombres négatifs, ce n'est pas compatible avec "la quantité restante d'eau" que vous citez. J'insiste.

oui si vous voulez , on peut écrire e^-x , pour avoir des valeurs positives , mais ça ne change pas les résultats

[Rhodes77]

Plus h est petit, plus le débit l'est aussi. Moins il reste d'eau, moins on en évacue. La vidange est asymptotique. On tend vers elle mais on ne l'attend jamais (car le débit décroit)

[Rhodes77]

Non, ce n'est pas 1000s, il vous manque un ln(2) qui traine quelque part.

[neo62950]

j'avoue que je suis completement largué. je ne vois pas comment vous arriver a trouver toutes ces données juste en lisant mon enoncé. pourtant je suis bon je comprend assez vite mais la rien du tout. pouvez vous faire comme si j'etait débile est me donnez un raisonnement détailler sans pour autant me donner le resultat (qui m'importe peu d'ailleur).

[Rhodes77]

En égalisant les deux expressions du débit données plus haut et en prenant garde que la hauteur diminue, on obtient l'équation différentielle suivante :
,

soit encore où

On intègre ensuite cette équation différentille avec l'exponentielle, soit


On cherche alors t tel que , soit t tel que , soit où vous n'avez plus qu'à faire l'application numérique.
Ca va mieux ?

[portoline]

j'avoue que je suis completement largué. je ne vois pas comment vous arriver a trouver toutes ces données juste en lisant mon enoncé. pourtant je suis bon je comprend assez vite mais la rien du tout. pouvez vous faire comme si j'etait débile est me donnez un raisonnement détailler sans pour autant me donner le resultat (qui m'importe peu d'ailleur).

h(t) la hauteur ou q(t) la quantité d'eau c'est la même fonction : e^-x
pour les unités du graphique , on choisit comme on veut ; moi j'ai choisi en abscisse 5 unités pour 1000 secondes et en ordonnée une unité pour 1000 litres d'eau restante dans la citerne ; cette quantité ne sera jamais nulle puisque y=0 est asymptote à la courbe ; c'est tout ; après ya plus qu'à lire les images sur la courbe en fonction du temps ; si tu veut d'autres explic , tu peux

[portoline]

h(t) la hauteur ou q(t) la quantité d'eau c'est la même fonction : e^-x
pour les unités du graphique , on choisit comme on veut ; moi j'ai choisi en abscisse 5 unités pour 1000 secondes et en ordonnée une unité pour 1000 litres d'eau restante dans la citerne ; cette quantité ne sera jamais nulle puisque y=0 est asymptote à la courbe ; c'est tout ; après ya plus qu'à lire les images sur la courbe en fonction du temps ; si tu veux d'autres explic , tu peux

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[neo62950]

ok merci a tous les deux de m'avoir aider c'est un peu plus clair maintenant je comprend le cheminement même si j'ai encore un peu de mal avec les equation differentiel en general

[neo62950]

voila j'ai reussi a terminer mon exo et a tracer ma courbe encore merci a tous les deux