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relations entre cos(pi/9), cos(5pi/9), cos (7pi/9)



  1. #1
    clochette13

    relations entre cos(pi/9), cos(5pi/9), cos (7pi/9)


    ------

    Bonjour,
    Je suis en 1ère S et j'ai un devoir maison su à faire mais j'ai beaucoup de mal...
    Voilà l'énoncé :
    1. Résoudre dans R l'équation d'inconnue x : 2cos(3x) - 1
    2. Déterminer les mesures principales des solutions.
    3. Représenter les images des solutions sur un cercles trigonométrique, l'unité graphique étant 4cm.
    4. Calculer cos(3x) en fonction de cos(x).
    5. Soit le polynome f(X) = 8X^3 - 6X - 1 .
    Démontrer que les racines de ce polynome sont : cos pi/9 cos 5pi/6,
    cos 7pi/9.
    6. Sans calculer les racines:
    *Factoriser f
    *Develloper f
    *En déduire la valeur exacte de:
    A= cos pi/9 + cos 5pi/9 + cos7pi/9
    B = cospi/9 * cos 5pi/9 + cos5pi/9 * cos7pi/9 + cos7pi/9 * cospi/9
    C= cos pi/9 * cos5pi/9 * cos7pi/9


    Je me retrouve à la première question avec cos(3x) = cos(pi/3) mais à partir de là je ne sais pas du tout quoi faire !!

    Aidez moi
    Merci

    -----

  2. #2
    clochette13

    Re : relations entre cos(pi/9), cos(5pi/9), cos (7pi/9)

    S'il vous plaît, aidez moi, je n'y arrive vraiment pas !
    Merci beaucoup

  3. #3
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : relations entre cos(pi/9), cos(5pi/9), cos (7pi/9)

    un petit coup de pouce pour le debut.

    tu obtiens cos(3x)=1/2 , donc
    3x = pi/3 +2n*pi ou 3x=2pi/3 +2npi
    d'ou plusieurs solutions pour x avant de faire un tour complet.

    pour la seconde, c'est un peu d'huile de coude:
    tu dois utiliser cos(a+b)=
    et sin(a+b)=
    en demarrant par
    cos(3x)= cos(2x+x) et en continuant ainsi.
    à la fin , n'oublie pas que cos²(x)+sin²(x)=1
    tu devrais trouver l'expression en fonction de cos(x)

    bonne fin d'AM
    Dernière modification par ansset ; 24/01/2010 à 17h14.

  4. #4
    clochette13

    Re : relations entre cos(pi/9), cos(5pi/9), cos (7pi/9)

    Donc 3x = pi/3 +2kpi
    ou 3x = -pi/3 +2kpi

    ce qui donne x = pi/9 ou x = -pi/9

    Mais ce sont déjà des mesures principales, non ???

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : relations entre cos(pi/9), cos(5pi/9), cos (7pi/9)

    pardon pi/3 ou -pi/3.

  7. #6
    clochette13

    Re : relations entre cos(pi/9), cos(5pi/9), cos (7pi/9)

    oui donc si 3x = pi/3, x = pi/9
    et si 3x = -pi/3, x = -pi/9

    mais on me demande de trouver leur mesure principale mais ce sont déjà des mesures principales !!

  8. #7
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : relations entre cos(pi/9), cos(5pi/9), cos (7pi/9)

    Citation Envoyé par clochette13 Voir le message
    Donc 3x = pi/3 +2kpi
    ou 3x = -pi/3 +2kpi

    ce qui donne x = pi/9 ou x = -pi/9

    Mais ce sont déjà des mesures principales, non ???
    non parceque tu n'as pas tout le cercle.
    tu as les mesures principales pour 3x mais pas pour x.
    il y aussi
    pi/9 +2pi/3 = 7pi/9
    -pi/9 +2pi/3 = 5pi/9 et enfin
    -pi/9 +4pi/3 = 11pi/9

  9. #8
    clochette13

    Re : relations entre cos(pi/9), cos(5pi/9), cos (7pi/9)

    je comprends pas l'histoire du cercle et des mesures principales pour 3x mais pas pour x !!
    désolé

  10. #9
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : relations entre cos(pi/9), cos(5pi/9), cos (7pi/9)

    Citation Envoyé par clochette13 Voir le message
    je comprends pas l'histoire du cercle et des mesures principales pour 3x mais pas pour x !!
    désolé
    il me semble que "mesures principales" s'applique à toute solution entre 0 et 2pi .
    ou entre -pi et pi ( tout depend de la définition exacte )
    mais 5pi/9 est autant une solution naturelle de cos(3x)=1/2 que pi/9.

  11. #10
    clochette13

    Re : relations entre cos(pi/9), cos(5pi/9), cos (7pi/9)

    oui, donc toutes les solutions sont des mesures principales alors pourquoi on demande de trouver la mesure principale du résultat si il est déjà compris entre -pi et pi ????

  12. #11
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : relations entre cos(pi/9), cos(5pi/9), cos (7pi/9)

    j'ai lu qu'on te demandait les solutions et pas la solution.
    car ensuite, on te demande de les inscrire sur un shema.
    tu as toutes les possibilités.
    que tu ecrives -pi/9 ou 7pi/18 ne change rien
    Dernière modification par ansset ; 24/01/2010 à 18h54.

  13. #12
    clochette13

    Re : relations entre cos(pi/9), cos(5pi/9), cos (7pi/9)

    ah ok, j'ai compris !!
    mais pour la 4- on demande de calculez cos(3x) en fonction de cos(x), mais on ne vient pas déjà de le faire ??

  14. #13
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : relations entre cos(pi/9), cos(5pi/9), cos (7pi/9)

    Citation Envoyé par clochette13 Voir le message
    ah ok, j'ai compris !!
    mais pour la 4- on demande de calculez cos(3x) en fonction de cos(x), mais on ne vient pas déjà de le faire ??
    non, là on demande d'ecrire cos(3x) en fct de cos(x) quelque soit x.
    mais je t'avais donné la piste dans le mess #3
    commence par cos(3x)=cos(2x+x)= cos(2x)cos(x)-sin(2x)sin(x)
    etc .... il y a un peu d'huile de coude mais la solution finale est plutôt simple

  15. #14
    hhh86

    Re : relations entre cos(pi/9), cos(5pi/9), cos (7pi/9)

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    non, là on demande d'ecrire cos(3x) en fct de cos(x) quelque soit x.
    mais je t'avais donné la piste dans le mess #3
    commence par cos(3x)=cos(2x+x)= cos(2x)cos(x)-sin(2x)sin(x)
    etc .... il y a un peu d'huile de coude mais la solution finale est plutôt simple
    et c'est la seule solution à ton niveau
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  16. #15
    clochette13

    Re : relations entre cos(pi/9), cos(5pi/9), cos (7pi/9)

    Est-ce que c'est possible de multiplier sin(x) par cos(x) ???
    Si oui, comment on fait ??

  17. #16
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : relations entre cos(pi/9), cos(5pi/9), cos (7pi/9)

    Citation Envoyé par clochette13 Voir le message
    Est-ce que c'est possible de multiplier sin(x) par cos(x) ???
    Si oui, comment on fait ??
    ???????? bien sur !

    il faut que tu connaisses :
    sin(a+b) = et
    cos(a+b)= ;
    je suis sur que tu as ça dans ton cours, sinon tu n'aurais pas cet exercice.

  18. #17
    clochette13

    Re : relations entre cos(pi/9), cos(5pi/9), cos (7pi/9)

    Parce qu'en fait j'en suis là :

    cos(3x)=cos(2x+x)
    = cos(2x)cos(x)-sin(2x)sin(x)
    =(2cos²(x)-1)cos(x)-(2sin(x)(cos(x))sin(x)

    Et pour développer (2sin(x)(cos(x))sin(x) ça donne 2sin^3(x) mais après il faut que je multiplie cos(x) et sin(x) mais je sais pas ce que ça donne !!

  19. #18
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : relations entre cos(pi/9), cos(5pi/9), cos (7pi/9)

    Citation Envoyé par clochette13 Voir le message
    Parce qu'en fait j'en suis là :

    cos(3x)=cos(2x+x)
    = cos(2x)cos(x)-sin(2x)sin(x)
    =(2cos²(x)-1)cos(x)-(2sin(x)(cos(x))sin(x)

    Et pour développer (2sin(x)(cos(x))sin(x) ça donne 2sin^3(x) mais après il faut que je multiplie cos(x) et sin(x) mais je sais pas ce que ça donne !!
    non , c'est tout bon
    tu peux mettre cos(x) en facteur soit
    =cos(x)(2cos²(x)-1-2sin²(x)) ok ?

    après tu utilises la formule de trigo la plus connue
    cos²(x)+sin²(x)=1
    et tu te debarrasse de sin²(x).....

  20. #19
    hhh86

    Re : relations entre cos(pi/9), cos(5pi/9), cos (7pi/9)

    Citation Envoyé par clochette13 Voir le message
    Est-ce que c'est possible de multiplier sin(x) par cos(x) ???
    Si oui, comment on fait ??
    sin(2a)=2sin(a)cos(a)
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  21. #20
    clochette13

    Re : relations entre cos(pi/9), cos(5pi/9), cos (7pi/9)

    Donc cos(x)sin(x) = sin(2x)/2 ???

  22. #21
    hhh86

    Re : relations entre cos(pi/9), cos(5pi/9), cos (7pi/9)

    oui mais je doute de l'utilité de cette fomule dans ton exercice même si j'avoue ne pas l'avoir lu intégralement ni même partiellement
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  23. #22
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : relations entre cos(pi/9), cos(5pi/9), cos (7pi/9)

    il me semble en effet hhh !
    elle était tout prèt de la fin , et je crois que tu as un peu embrouillé le truc.

  24. #23
    hhh86

    Re : relations entre cos(pi/9), cos(5pi/9), cos (7pi/9)

    ce qui l'embrouille c'est les sinus cosinus
    Or on arrive facilement au résultat suivant cos(3x)=(cos³-2sin²cos)(x)

    Il faut penser à la formule des carrés. Normalement, tu l'as vu en troisième et elle se montre facilement avec pythagore

    Si tu ne t'en rappelles plus, tu peux procéder ainsi
    Soit M un point du cercle trigonométrique.
    Les coordonnées de M sont donc (cos(x);sin(x)) avec x=(u;OM)
    Or quelle est l'équation du cercle trigonométrique ?
    Si tu ne t'en rappelles plus le cercle trigonométrique est l'ensemble des points M du plan tels que OM=1, tu peux en déduire une relation entre le sinus et le cosinus.
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

  25. #24
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : relations entre cos(pi/9), cos(5pi/9), cos (7pi/9)

    ben non !
    tu es plein de bonne volonté, mais ça ne justifie pas les erreurs.

    ce qu'on peut montrer c'est
    cos(3x) = 4(cos^3)(x) - 3cos(x)

    ################ supprimé
    Dernière modification par JPL ; 26/01/2010 à 19h30. Motif: Suppression de commentaires inutiles

  26. #25
    hhh86

    Re : relations entre cos(pi/9), cos(5pi/9), cos (7pi/9)

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    ben non !
    tu es plein de bonne volonté, mais ça ne justifie pas les erreurs.

    ce qu'on peut montrer c'est
    cos(3x) = 4(cos^3)(x) - 3cos(x)


    ################ supprimé

    D'abord au lieu de chercher les réponses partout sur internet, j'aimerais que tu saches que toutes les réponses que je fournies je les cherche moi-même et je les vérifie, il es rare que je me trompe. Là, il s'agit juste d'une petite erreur dans le développement de la formule de Moivre. J'ai zappé le coefficient 2 donc ça donne cos³(x)-3sin²(x)cos(x) au lieu de cos³(x)-2sin²(x)cos(x)

    ################ supprimé

    Donc cos(3x)=cos³(x)-3sin²(x)cos(x)
    Dernière modification par JPL ; 26/01/2010 à 19h31. Motif: Suppression de commentaires inutiles
    La démontrabilité est la raison. L'autorité n'est qu'affirmation

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