relations entre cos(pi/9), cos(5pi/9), cos (7pi/9)

[invite1e0051a1]

Bonjour,
Je suis en 1ère S et j'ai un devoir maison su à faire mais j'ai beaucoup de mal...
Voilà l'énoncé :
1. Résoudre dans R l'équation d'inconnue x : 2cos(3x) - 1
2. Déterminer les mesures principales des solutions.
3. Représenter les images des solutions sur un cercles trigonométrique, l'unité graphique étant 4cm.
4. Calculer cos(3x) en fonction de cos(x).
5. Soit le polynome f(X) = 8X^3 - 6X - 1 .
Démontrer que les racines de ce polynome sont : cos pi/9 cos 5pi/6,
cos 7pi/9.
6. Sans calculer les racines:
*Factoriser f
*Develloper f
*En déduire la valeur exacte de:
A= cos pi/9 + cos 5pi/9 + cos7pi/9
B = cospi/9 * cos 5pi/9 + cos5pi/9 * cos7pi/9 + cos7pi/9 * cospi/9
C= cos pi/9 * cos5pi/9 * cos7pi/9

Je me retrouve à la première question avec cos(3x) = cos(pi/3) mais à partir de là je ne sais pas du tout quoi faire !!

Aidez moi
Merci
-----

[invite1e0051a1]

S'il vous plaît, aidez moi, je n'y arrive vraiment pas !
Merci beaucoup

[invite51d17075]

un petit coup de pouce pour le debut.

tu obtiens cos(3x)=1/2 , donc
3x = pi/3 +2n*pi ou 3x=2pi/3 +2npi
d'ou plusieurs solutions pour x avant de faire un tour complet.

pour la seconde, c'est un peu d'huile de coude:
tu dois utiliser cos(a+b)=
et sin(a+b)=
en demarrant par
cos(3x)= cos(2x+x) et en continuant ainsi.
à la fin , n'oublie pas que cos²(x)+sin²(x)=1
tu devrais trouver l'expression en fonction de cos(x)

bonne fin d'AM

[invite1e0051a1]

Donc 3x = pi/3 +2kpi
ou 3x = -pi/3 +2kpi

ce qui donne x = pi/9 ou x = -pi/9

Mais ce sont déjà des mesures principales, non ???

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

pardon pi/3 ou -pi/3.

[invite1e0051a1]

oui donc si 3x = pi/3, x = pi/9
et si 3x = -pi/3, x = -pi/9

mais on me demande de trouver leur mesure principale mais ce sont déjà des mesures principales !!

[invite51d17075]

Donc 3x = pi/3 +2kpi
ou 3x = -pi/3 +2kpi

ce qui donne x = pi/9 ou x = -pi/9

Mais ce sont déjà des mesures principales, non ???

non parceque tu n'as pas tout le cercle.
tu as les mesures principales pour 3x mais pas pour x.
il y aussi
pi/9 +2pi/3 = 7pi/9
-pi/9 +2pi/3 = 5pi/9 et enfin
-pi/9 +4pi/3 = 11pi/9

[invite1e0051a1]

je comprends pas l'histoire du cercle et des mesures principales pour 3x mais pas pour x !!
désolé

[invite51d17075]

je comprends pas l'histoire du cercle et des mesures principales pour 3x mais pas pour x !!
désolé

il me semble que "mesures principales" s'applique à toute solution entre 0 et 2pi .
ou entre -pi et pi ( tout depend de la définition exacte )
mais 5pi/9 est autant une solution naturelle de cos(3x)=1/2 que pi/9.

[invite1e0051a1]

oui, donc toutes les solutions sont des mesures principales alors pourquoi on demande de trouver la mesure principale du résultat si il est déjà compris entre -pi et pi ????

[invite51d17075]

j'ai lu qu'on te demandait les solutions et pas la solution.
car ensuite, on te demande de les inscrire sur un shema.
tu as toutes les possibilités.
que tu ecrives -pi/9 ou 7pi/18 ne change rien

[invite1e0051a1]

ah ok, j'ai compris !!
mais pour la 4- on demande de calculez cos(3x) en fonction de cos(x), mais on ne vient pas déjà de le faire ??

[invite51d17075]

ah ok, j'ai compris !!
mais pour la 4- on demande de calculez cos(3x) en fonction de cos(x), mais on ne vient pas déjà de le faire ??

non, là on demande d'ecrire cos(3x) en fct de cos(x) quelque soit x.
mais je t'avais donné la piste dans le mess #3
commence par cos(3x)=cos(2x+x)= cos(2x)cos(x)-sin(2x)sin(x)
etc .... il y a un peu d'huile de coude mais la solution finale est plutôt simple

[invite5150dbce]

non, là on demande d'ecrire cos(3x) en fct de cos(x) quelque soit x.
mais je t'avais donné la piste dans le mess #3
commence par cos(3x)=cos(2x+x)= cos(2x)cos(x)-sin(2x)sin(x)
etc .... il y a un peu d'huile de coude mais la solution finale est plutôt simple

et c'est la seule solution à ton niveau

[invite1e0051a1]

Est-ce que c'est possible de multiplier sin(x) par cos(x) ???
Si oui, comment on fait ??

[invite51d17075]

Est-ce que c'est possible de multiplier sin(x) par cos(x) ???
Si oui, comment on fait ??

???????? bien sur !

il faut que tu connaisses :
sin(a+b) = et
cos(a+b)= ;
je suis sur que tu as ça dans ton cours, sinon tu n'aurais pas cet exercice.

[invite1e0051a1]

Parce qu'en fait j'en suis là :

cos(3x)=cos(2x+x)
= cos(2x)cos(x)-sin(2x)sin(x)
=(2cos²(x)-1)cos(x)-(2sin(x)(cos(x))sin(x)

Et pour développer (2sin(x)(cos(x))sin(x) ça donne 2sin^3(x) mais après il faut que je multiplie cos(x) et sin(x) mais je sais pas ce que ça donne !!

[invite51d17075]

Parce qu'en fait j'en suis là :

cos(3x)=cos(2x+x)
= cos(2x)cos(x)-sin(2x)sin(x)
=(2cos²(x)-1)cos(x)-(2sin(x)(cos(x))sin(x)

Et pour développer (2sin(x)(cos(x))sin(x) ça donne 2sin^3(x) mais après il faut que je multiplie cos(x) et sin(x) mais je sais pas ce que ça donne !!

non , c'est tout bon
tu peux mettre cos(x) en facteur soit
=cos(x)(2cos²(x)-1-2sin²(x)) ok ?

après tu utilises la formule de trigo la plus connue
cos²(x)+sin²(x)=1
et tu te debarrasse de sin²(x).....

[invite5150dbce]

Est-ce que c'est possible de multiplier sin(x) par cos(x) ???
Si oui, comment on fait ??

sin(2a)=2sin(a)cos(a)

[invite1e0051a1]

Donc cos(x)sin(x) = sin(2x)/2 ???

[invite5150dbce]

oui mais je doute de l'utilité de cette fomule dans ton exercice même si j'avoue ne pas l'avoir lu intégralement ni même partiellement

[invite51d17075]

il me semble en effet hhh !
elle était tout prèt de la fin , et je crois que tu as un peu embrouillé le truc.

[invite5150dbce]

ce qui l'embrouille c'est les sinus cosinus
Or on arrive facilement au résultat suivant cos(3x)=(cos³-2sin²cos)(x)

Il faut penser à la formule des carrés. Normalement, tu l'as vu en troisième et elle se montre facilement avec pythagore

Si tu ne t'en rappelles plus, tu peux procéder ainsi
Soit M un point du cercle trigonométrique.
Les coordonnées de M sont donc (cos(x);sin(x)) avec x=(u;OM)
Or quelle est l'équation du cercle trigonométrique ?
Si tu ne t'en rappelles plus le cercle trigonométrique est l'ensemble des points M du plan tels que OM=1, tu peux en déduire une relation entre le sinus et le cosinus.

[invite51d17075]

ben non !
tu es plein de bonne volonté, mais ça ne justifie pas les erreurs.

ce qu'on peut montrer c'est
cos(3x) = 4(cos^3)(x) - 3cos(x)

################ supprimé

[invite5150dbce]

ben non !
tu es plein de bonne volonté, mais ça ne justifie pas les erreurs.

ce qu'on peut montrer c'est
cos(3x) = 4(cos^3)(x) - 3cos(x)


################ supprimé

D'abord au lieu de chercher les réponses partout sur internet, j'aimerais que tu saches que toutes les réponses que je fournies je les cherche moi-même et je les vérifie, il es rare que je me trompe. Là, il s'agit juste d'une petite erreur dans le développement de la formule de Moivre. J'ai zappé le coefficient 2 donc ça donne cos³(x)-3sin²(x)cos(x) au lieu de cos³(x)-2sin²(x)cos(x)

################ supprimé
Donc cos(3x)=cos³(x)-3sin²(x)cos(x)