Récurrence, suites (Spécialité)

[invitef5f7f06f]

Bonjour à tous !! Étant en spécialité et n'ayant, normalement pas trop de difficultés, je me retrouve aujourd'hui face à un problème sur lequel je bloque complet !

Pouvez vous m'aider svp?

On considère les suites (Xn) et (Yn) définie par X0=1 et Y0=8

Xn+1 = 7/3 Xn + 1/3 Yn + 1
et
Yn+1 = 20/3 Xn + 8/3 Yn + 5

1) Mq par récurrence que les points Mn (Xn ; Yn) sont sur la droite d'équation (D) : 5x-y+3=0
En déduire x , Xn+1 =Xn +2

Ici j'ai donc fait :

Étape 1 : le point (X0=1; Y0=8) est bien sur la droite (D) car 5(1)-8+3=0
Étape 2 :
Supposons que les points Mi(Xi; Yi), i variant de 1 à n, soient sur la droite (D). La question revient à voir si Mn+1 y est aussi.
Je pose En = 5Xn-Yn+3 et on a donc : En=0

On va calculer En+1 = 5Xn+1-Yn+1+3
Par définition de Xn+1 et de Yn+1, on a : En+1 = 5(7Xn/3+Yn+1/3)-(20Xn/3+8Yn/3+5)+3
C'est à dire : En+1 = (35/3-20/3)Xn+(5/3-8/3)Yn+5-5+3 = 5Xn-Yn+3 = En = 0
Donc : En=0 entraîne En+1=0

Etape 3 : Conclusion : la proposition est vraie quel que soit n0

Comme les points Mn sont sur la droite, cela signifie que Xn et Yn répondent à l'équation de la droite (D) : 5Xn-Yn+3=0,
donc : Yn=5Xn+3
Remplaçons Yn par cette valeur précédemment trouvée dans Xn+1 :
Xn+1=7Xn/3+(5Xn+3)/3+1=4Xn+2

On à donc une suite définie par X0=1; Xn+1=4Xn+2

2) Montrez par récurrence que tous les Xn sont des entiers naturels. En déduire que tous les Yn sont aussi des entiers naturels.

Ici je bloque complétement !! Et pour la suite de l'exercice j'aurai encore quelques questions...:s

Merci de votre aide !!

Superflow
-----

[Jeanpaul]

Où est ton problème ? Si Xn est entier, il est évident que 2+4.Xn est entier aussi !

[invitef5f7f06f]

Bonjour,

Le problème réside dans le fait que il faut démontrer cela par récurrence et je ne vois pas comment

Merci de votre aide.

Superflow

[Jeanpaul]

Tu sais que c'est vrai pour n=0 et ensuite tu supposes que c'est vrai pour n et tu le démontres pour n+1. C'est assez évident en fait puisque tu sais calculer X(n+1) à partir de Xn.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef5f7f06f]

Ok,


1) Initialisation (On vérifie que P(n) est vraie pour n0)

X0 = 1 donc ....

2) Hérédité (On suppose...)

Xn entier

3) Conclusion (...)

Xn+1=4Xn+2
Comme Xn entier, 4Xn entier et 4Xn + 2 ....

Est-ce correcte?

Pour la suite...(dont je bloque véritablement...)

3) Montrer que :

a) Xn est divisible par 3 si et seulement si Yn est divisible par 3

b) Si Xn et Yn ne sont pas divisibles par 3, alors ils sont premiers entre eux.

4)a) Montrer, par récurrence, que Xn=1/3(4^n*5-2)

b) En déduire que 4^n*5-2 est un multiple de 3, pour tout entier naturel n.

Pour la a) dois-je exprimer Xn en fonction de Yn afin d'en déduire la réponse à la question posée?!

Je suppose que pour la b), la réponse découle de la a)...

Pour le reste, je bloque encore, première fois que cela m'arrive vraiment, je suis fâché avec cet exercice (à rendre pour mercredi...:s)

Pouvez-vous m'aider encore une fois? M'indiquer comment faire pour ces questions...

Merci beaucoup à vous !

Superflow

[Jeanpaul]

Pour le 3, tu dois montrer que si Xn est un multiple de 3 , alors Yn aussi. Ecris que Xn= 3 q et c'est torché.
La réciproque est plus subtile : si Yn=3 p alors 5 Xn = 3.quelque chose. Donc 3 divise 5 Xn mais 3 est premier avec 5 donc (théorème de Gauss)...

La question 4 est une récurrence typique. Je crains que tu ne maîtrises pas vraiment la récurrence, non ?
La relation est-elle vraie pour n=0 ?
Si la relation est vraie pour n, alors Xn s'écrit comme tu as fait. Combien vaut alors X(n+1) ? Tu connais la relation entre X(n+1) et Xn, oublie les Yn.
Est-ce que X(n+1) peut s'écrire sous la même forme (en remplaçant n par n+1 bien entendu).