Exercice inventé...

[Elie520]

Bonjour tout le monde !
Je suis en Terminale S spécialité maths, et la dernière fois je me suis posé une question qui m'a permis d'inventer le problème suivant:

Trouver toutes les valeurs possibles du réel a vérifiant à la fois :
~ f(x)=ax+cos(x) n'est pas monotone sur l'ensemble des réels,
~ la suite (U_n) définie par U_n=an+cos(n) est Strictement croissante sur l'ensemble des entiers naturels.

Je suis sûr à 100% de la réponse à ce problème mais j'aimerais que quelqu'un la trouve de façon rigoureuse S.V.P. par simple curiosité, l'ayant fait de manière intuitive...
Enfin, j'aimerais savoir si vous pensez qu'un tel exercice présente un quelconque inérêt ^^

Merci à tous !
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[SchliesseB]

f(x)=ax+cos(x)

f'(x)=a-sin(x)

pas monotone sur R <=> f' change de signe sur R <=> |a|<1

Un+1-Un=a+cos(n+1)-cos(n)=a-2sin(n+1/2)sin(1/2)

Un strictement croissante
a-2sin(n+1/2)sin(1/2)>0 pour tout n
a/(2sin(1/2))>sin(n+1/2)



on peut montrer que sin(n+1/2) peut s'approcher autant qu'on veut de 1 (propriété de Pi)

a>2sin(1/2)~0.9588

ainsi il faut 1>a>2sin(1/2)

pas mal (si c'est juste)

[invite8a7d1ddf]

salut, tout d'abord oui cet exercice présente un interet : celui de me plaire !
voici ce que j'en pense :
Un est croissante donc a est positif

f'(x)=a-sin x ne doit pas toujours être positif donc a appartient à
]0,1]

et quel que soit n dans N
an+cosn<a(n+1)+cos(n+1)
ce qui donne a>cos n- cos(n+1)


après on étudie la fonction g : x->cosx-cos(x+1)
g'(x)=-sin x + sin(x+1)
g s'annule en x= pi/2-1/2et x= -pi/2+1/2 modulo 2pi
donc g est maximale soit en pi/2-1/2 soit en 1/2-pi/2
on calcule g(pi/2-1/2)=0,95885


ainsi 0,95885<a<1

bon après c'est pas certifié exact

[invite8a7d1ddf]

bon ben on est 2 à trouver la même chose c'est pas mal !

[A voir en vidéo sur Futura]

[SchliesseB]

ta solution est néanmoins fausse car f n'est étudiée que sur N (et pas R) et donc tu ne peux pas étudier g sur N

néanmoins, les points pi/2-1/2+2kpi (k entier) peuvent être approché par des entiers N aussi près que l'on veut (on prenant k grand) et donc on retrouve ton résultat

[Elie520]

Re coucou !
Je vois qu'il y a déja deux réponses ^^
Bon, alors félicitations SchliesseB et Mywy, j'étais arrivé a la même conclusion sous une forme plus barbare (un peu comme dans le raisonnement de Mywy) avec :
1>a>[cos(pi/2-1/2)-cos(pi/2+1/2] ce qui revient à ce que tu ma dit puisqu'on a bien :
[cos(pi/2-1/2)-cos(pi/2+1/2]=2cos(pi/2-1/2)=2sin(1/2).

Bon et bien c'est un énoncé assez simple, mais je l'ai trouvé amusant et je suis content qu'il vous ait plût !

Merci à tous !
Cordialement.

[invite8a7d1ddf]

pour répondre à schliesseB :
D'une part je ne vois pas pourquoi f ne serai étudiée que sur N?
D'autre part j'étudie g sur R, pas sur N, sinon je ne calculrai pas la dérivé.

[SchliesseB]

oui, mais la densité de sin(n+1/2) joue un rôle (enfin, surtout le fait que sin(n+1/2) peut s'approcher de 1)

"et quel que soit n dans N
an+cosn<a(n+1)+cos(n+1)
ce qui donne a>cos n- cos(n+1)


après on étudie la fonction g : x->cosx-cos(x+1)
g'(x)=-sin x + sin(x+1)
g s'annule en x= pi/2-1/2et x= -pi/2+1/2 modulo 2pi
donc g est maximale soit en pi/2-1/2 soit en 1/2-pi/2
on calcule g(pi/2-1/2)=0,95885"

tu étudies sur N puis tu trouve le maximum en Pi/2-1/2 qui n'est pas entier

le maximum de g (définit sur N) (qui d'ailleurs n'est pas un max mais une borne sup) n'est pas en Pi/2-1/2