Concours Général de Mathématiques 2010 !!

[invite8f458b62]

Mais pourquoi on n'en considère pas 4 ? O_O

Grrr
Enfin si c'est dû au fait que le "grand triangle" engloberait les autres et que ce serait ce qu'ils entendraient par "chevaucher", ok... Mais c'est tordu.
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[invite95c571c1]

Mais pourquoi on n'en considère pas 4 ? O_O

Grrr
Enfin si c'est dû au fait que le "grand triangle" engloberait les autres et que ce serait ce qu'ils entendraient par "chevaucher", ok... Mais c'est tordu.

Ils donnent une définition rigoureuse de triangles qui "se chevauchent" : "deux triangles distincts quelconques n'ont pas de points intérieurs en commun", c'est-à-dire que, prenant n'importe quel couple de triangles parmi les triangles tracés, et en prenant n'importe quel point à l'intérieur de l'un des 2 triangles, alors ce point doit se trouver à l'extérieur du deuxième (je sais pas si ce que j'écris est très clair ).

[invite8f458b62]

Je comprends l'idée mais je ne trouve pas la définition rigoureuse du tout ^.^

Boah, de toute façon, pour ce que ça change... Mais si par exemple on prenait la configuration que tu avais pour u(4) = 3 ; mais qu'on considérait le grand triangle pour t(4) = 4 , c'est bon non?

Et une figure suffisait-elle à justifier t(4) = 4 ? Parce qu'après tout, c'est pas parce qu'on montre qu'on pouvait faire 4 triangles à partir de 4 points qu'on a démontré que c'était le nombre maximal de triangle réalisable... ^.^

[invite95c571c1]

Je comprends l'idée mais je ne trouve pas la définition rigoureuse du tout ^.^

Boah, de toute façon, pour ce que ça change... Mais si par exemple on prenait la configuration que tu avais pour u(4) = 3 ; mais qu'on considérait le grand triangle pour t(4) = 4 , c'est bon non?

Non, parce que si tu prends un point à l'intérieur du triangle violet par exemple, alors ce point est également un point à l'intérieur du grand triangle. Donc, d'après la définition donnée, les deux triangles ne peuvent convenir.
En fait, on peut dire, pour essayer d'être plus rigoureux, que deux triangles respectent la définition s'ils "se chevauchent" ou si 'l'un contient l'autre'.

Et une figure suffisait-elle à justifier t(4) = 4 ? Parce qu'après tout, c'est pas parce qu'on montre qu'on pouvait faire 4 triangles à partir de 4 points qu'on a démontré que c'était le nombre maximal de triangle réalisable... ^.^

Pour le cas n = 4, il suffit de montrer qu'on peut faire une construction de 4 triangles pour démontrer que t(4)=4 car 4 est le nombre maximal de triangles distincts possibles ( 3 parmi 4 = 4 ) . Pour t(5) ou t(6), il fallait quelques phrases d'explication en plus.

[invite8f458b62]

Pour le cas n = 4, il suffit de montrer qu'on peut faire une construction de 4 triangles pour démontrer que t(4)=4 car 4 est le nombre maximal de triangles distincts possibles ( 3 parmi 4 = 4 ) . Pour t(5) ou t(6), il fallait quelques phrases d'explication en plus.

Non mais moi ce que je veux dire, c'est qu'on nous demande de montrer t(4) = 4. Donc pour moi, il faudrait démontrer qu'on ne peut pas faire 5 triangles avec 4 points (mais qu'on peut effectivement en faire 4). Comment s'y prendre ? ^.^

[invite95c571c1]

Non mais moi ce que je veux dire, c'est qu'on nous demande de montrer t(4) = 4. Donc pour moi, il faudrait démontrer qu'on ne peut pas faire 5 triangles avec 4 points (mais qu'on peut effectivement en faire 4). Comment s'y prendre ? ^.^

C'est ce à quoi j'ai répondu.
"Il suffit de montrer qu'on peut faire une construction de 4 triangles pour démontrer que t(4)=4 car 4 est le nombre maximal de triangles distincts possibles"

J'ignore si t'as fait des probas cette année mais le nombre de triangles distincts maximal pour n points correspond en fait aux nombre de combinaisons de 3 parmi n.

Et 3 parmi 4 = 4

Il est impossible d'avoir t(4) = 5 puisque le nombre maximal de triangles distincts pour 4 points est 4.

[invite8f458b62]

Bah j'ai fait en partie les probas (arbres pondérés, événements indépendants...) ; par contre ce que tu me dis quant aux "3 parmi 4", ça ne me dit rien du tout...

Excuse moi de ne pas avoir compris ton explication. Tout ça me semble un peu louche, mais bon J'espère qu'une fois que j'aurai fait le cours adéquat, je comprendrai mieux les tenants et aboutissants de la chose ^.^

Merci de ton aide en tout cas

[Elie520]

Bon et bien je suis content, Ixnay et moi avons donc trouvé exactement la même réponse pour tout l'exercice 2
(même si toi c'est peut-être mieux formulé que moi )

Hoetre, en fait, pour t(4)=4, on peut faire la démonstration suivante:

Pour faire un triangle quelconque, il faut considérer 3 points distincts dans le plan.
Donc pour n=4, il y a autant de triangle faisables (sans considérer les conditions de l'exercice pour le moment !) que de manière de choisir 3 points parmi les 4 proposés.
Tu verras qu'on appelle ce nombre "3 Parmi 4" et qu'il correspond à : 4!/[(3!)(4-3)!]=4.
Par conséquent, les conditions de l'exercice n'ajoutant pas de points, elles ne peuvent que diminuer le nombre de triangle faisables.
Or nous avons réussi a en fabriquer 4 avec les conditions de l'exercice (voir la figure de Ixnay). D'où t(4)=4

Je pense cette démonstration satisfaisante et suffisante.

[Elie520]

"3 points distincts et non alignés (ce qui est le cas d'après l'énoncé)"
Dsl pour ce petit manque de rigueur

[hhh86]

Je m'attendais à autre chose. Je ne m'étais pas du tout préparer niveau probabilité. Enfin bon, c'est comme ça.

[invite6c146f6c]

hhh86, je suis un peu comme toi, je m'attendais à un gros éxo d'arithmétique, une bonne analyse ou des algorithmes. Les probas je les commences demain en cours et pour l'éxo 2, les conjectures c'est pas mon truc je trouve toujours des trucs qui vont pas ^^.

Pour la question 4 de léxo 1 j'ai une partie de la démonstration, si y' est tangent à y en B, alors B et E sont confondus, c'est à dire que le diamètre de y' est [AB]. dans ce cas l'alignement et l'orthogonalité sont déduits facilement.
Par contre quand le diamètre de y' n'est pas [AB], je ne sais pas trop...

[invite95c571c1]

Il y avait très peu de probas j'ai trouvé, en tout cas aucun calcul de proba compliqué. Le 3ème exo tournait plutôt autour des suites et des inégalités.

[invite6c146f6c]

Pour l'éxo 3, ce qui m'a le plus dérangé, c'est que je ne savais pas si les 3 parents donnés 1 enfant ou si ils pouvaient en donner plus de trois, en gros si les proportions diminuaient ou augmentaient.... ce serait plus évident qu'elles augmentent sinon, l'espèce aurait disparue mais bon...

[invite8f458b62]

Merci pour l'explication Elie
C'est vrai que comme ça, ça semble plus compréhensible ^.^

C'est frustrant de se dire qu'on est facilement pénalisé si on a pas fait certains points du programme =/ Je plains énormément ceux qui n'ont pas fait les probas, moi j'ai eu de la chance : je suis en plein dedans.

Par contre une question que je me posais :

Moi j'ai réalisé un arbre pour répondre à la première question, et j'ai mis qu'on prenait d'abord A, B ou C avec proba respectives de a, b et c ; ensuite à partir de A, je refaisais partir 3 branches avec toujours les mêmes probas a, b et c.

Avec ça, j'arrivais à tomber sur les résultats attendus

Alors qu'un ami à considéré que puisqu'on prenait une cellule A, après la probabilité d'avoir un A était réduite... Son raisonnement me parait plus logique que le mien, mais il m'a avoué n'avoir abouti à rien ainsi.

Vos avis ?

[invite95c571c1]

Merci pour l'explication Elie
C'est vrai que comme ça, ça semble plus compréhensible ^.^

C'est frustrant de se dire qu'on est facilement pénalisé si on a pas fait certains points du programme =/ Je plains énormément ceux qui n'ont pas fait les probas, moi j'ai eu de la chance : je suis en plein dedans.

Par contre une question que je me posais :

Moi j'ai réalisé un arbre pour répondre à la première question, et j'ai mis qu'on prenait d'abord A, B ou C avec proba respectives de a, b et c ; ensuite à partir de A, je refaisais partir 3 branches avec toujours les mêmes probas a, b et c.

Avec ça, j'arrivais à tomber sur les résultats attendus

Alors qu'un ami à considéré que puisqu'on prenait une cellule A, après la probabilité d'avoir un A était réduite... Son raisonnement me parait plus logique que le mien, mais il m'a avoué n'avoir abouti à rien ainsi.

Vos avis ?

Considérant une population de cellules, on peut dire que leur proportion n'est pas modifiée en n'en prenant qu'une parmi cette population.

[invite8f458b62]

Ouais ; c'est sûr que ça semble logique, d'un autre côté, ce qu'a fait mon ami est plus rigoureux...
J'ai beaucoup aimé passer ce concours pour l'expérience que ça a constitué à mes yeux, mais je regrette quand même la façon dont ont été rédigés les énoncés... Enfin sinon, ça serait pas drôle ^.^

Mais pour avoir lu quand même de nombreux sujets des anciennes années, je n'avais pas eu l'impression qu'il y ait autant de difficulté à comprendre le sujet (par contre, pour ce qui était de répondre aux questions...). Peut-être est-ce parce que je ne m'étais pas plongé dessus comme j'ai pu le faire jeudi dernier
Mais prenons le sujet de 2009, l'exercice de proba qui mettait en jeu 4 dés à 20 faces était muni d'exemples, etc...

Dommage

[Elie520]

Je me suis posé la même question que ton ami Hoetre, et ça m'a mis dans la m***
A vouloir être trop pointilleux, on fait des bêtises ^^

[invite8f458b62]

Je me suis posé la même question que ton ami Hoetre, et ça m'a mis dans la m***

Je lui dirai, il se sentira moins seul

parce qu'après ça donnait comme proba pour avoir A A A un truc du genre p(AAA) = a(a - 1/a)(a - 2/a)... Alors pour retomber sur ses pattes de la sorte, faut se lever de bonne heure !

[invite95c571c1]

Quelques éléments de réponse pour l'exo 1 :
- (OO'), Delta et (CF) sont concourantes en G, centre de l'homothétie qui transforme y en y' (avec rapport positif) : la composée de deux homothéties a comme centre un point aligné avec les centres de ces deux homothéties.

- A, E et F sont alignés (E est l'image de A par l'homothétie qui transforme T en y').

- Pour démontrer que A passe par la tangente commune de y et y', on démontre que la distance de A au point de tangence (correspondant en fait à D) de chacun des deux cercles est la même. Le carré de cette distance est égal à la puissance de A par rapport au cercle consideré (sans connaître cette notion, le problème devient nettement plus difficile ) : AB x AC pour y et AE x AF pour y'.
Or, les triangles BEA et AFC sont semblables, et on a AE/AC = BA/FA, c'est-à-dire AB x AC = AE x AF.
On démontre ainsi que les droites (GD) et (AD) sont orthogonales.

- IB = IE et (delta) est tangente à y et y' respectivement en B et en E, I appartient donc à la tangente commune de y et y' (AD), pour la même raison que ci-dessus (la distance au point de tangence de chaque cercle est la même).

- AB = DG car BOG et DOA isométriques (OB = OD).

- Il ne reste plus qu'à appliquer le théorème de Thalès dans le triangle OBG avec DG = DO' + r' = AB = 2 (R - r), à partir des droites parallèles (O'E) et (OB)
Au final, on trouve r' = r(1-r/R)

[Flyingsquirrel]

Bonsoir,

Quand vous insérez des images dans vos messages merci de les mettre en pièce jointe (icône ) et non de les héberger sur un serveur extérieur (imageshack ou autres).

[mx6]

Bonsoir,

J'ai hâte de voir le sujet ! Si vous pouvez scanner le demain !

Je vois que personne n'a réussi à montrer que .

Je crois un raisonnement par récurrence marchera bien mais il faut être très rigoureux, mais l'idée est vraiment là.
On suppose on a un plan composé de points vérifiant la condition de l'énoncé, et de plus tel que .
Maintenant, ajoutant un point à ce plan, tel que la condition donnée par l'énoncé soit toujours vérifiée, enfin tel qu'on ait pas des points alignés. Alors ce point ne peut partager que un coté, ou 0 ou 2 cotés au maximum et la propriété est donc vrai au rang n+1 !

Pour l'expression en fonction de n, je n'ai pas vu vos résultat avec détail, car il est temps de me coucher, mais je crois il faut conjecturer puis montrer par récurrence, ou bien décomposer nos n points, en m points dont on sait beaucoup de choses, mais ça reste compliqué aussi.

Ce sujet m'a l'air en tout cas plus intéressant d'après cet exercice que celui de 2009 auquel j'ai participé et qui est vraiment le plus nul de tous ! Mes coups de coeur c'est 2005 et 1990

[invite95c571c1]

J'ai mis le sujet en pièce jointe.

Pour t(n) <= n, j'ai fait ce raisonnement par récurrence : soit la construction n'est composée que de triangles avec deux points en commun et alors, pour n différent de 4, t(n)<= n - 2 <= n, soit t(n) = t(a) + t(b) avec a + b = n et a, b inférieurs à n (j'ignore si c'est correct ^^ ).

[invitecf9a32b1]

Hoetre moi pour l'exercice 1 j'ai procédé ainsi :

La probabilité p de l'évènement "2 cellule parmi 3 sont identiques" est :
p=1-P,
où P est la probabilité de l'évènement contraire "les 3 cellulles sont identiques".
Or, il y a 3!=6 cas possible pour cet évènement contraire, et chacun de ces évènement a une probabilité égale à abc (il s'agit en fait des 6 cas : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA, et on calcule aisément que leur probabilité est a*b*c). On a donc : P= 6abc, et finalement :

p=1-6abc

Pour la question d'après, moi perso j'ai pas compris ce qu'était une "inégalité à c fixé" (pas eu le temps aussi...), et donc j'ai mis ceci :
Comme 0<a<1, 0<b<1, 0<c<1 et que a+b+c=1:
le produit abc est maximal quand a=b=c (c'est là ou c'est pas rigoureux du tout mais bon...)
Donc :
abc est maximal lorsque a=b=c=(1/3)
D'où : abc<=(1/27)
1-6abc >=(7/9)
C'est-à-dire : p>=(7/9)

Bon comme vous pouvez voir c'est pas vraiment rigoureux, donc si quelqu'un a mieux je suis preneur !! Et si jamais tout ce que j'ai dit se révèle faux (ce qui est bien possible...), dites-le moi !

[invited971dbc9]

Bonjour,
ça fait maintenant presque une semaine depuis le CG, je suis tombé sur ce sujet donc j'apporte quelques éléments:

Pour l'exercice 1, de la géometrie, donc je n'ajouterai pas grand chose. Prouver tout avec des nombres complexes était proche du suicide.

Pour l'exercice 2:
Si deux triangles ont un point en commun, ils en ont alors forcément un deuxième. Or il y a trois façons de choisir deux points parmi trois, toutes ayant au moins un sommet en commun<=>si un triangle T1 a un sommet en commun avec un triangle T2, alors il aura un sommet en commun avec tout autre triangle partageant un sommet avec T1. On arrive donc à une limite de 4 triangles formés sur 4 points, et indépendants de tout autre point du plan.
On en déduit que t(n) et u(n)<ou= à n, et on peut donner pour t(n) comme pour u(n) une formule explicite (mieux qu'une écriture basée sur les congruences):
t(n)=4E(n/4)+E( (n-4E(n/4))/3) )
u(n)=3E(n/4)+E( (n-4E(n/4))/3) )

Pour l'exercice 3: les premières questions n'étaient que des probabilités de base, utiles pour la suite. Les calculs menant aux résultats suivants étaient selon moi nettement plus difficiles, avec des suites qui pouvaient être embêtantes. J'ai personellement étudié parallelement des fonctions similaires à l'écriture des suites pour prouver les inégalités, et on trouvant pour limite lim An=1 et
lim Bn= lim Cn= 0 pour la première situation, et des fractions dont je ne me rapelles plus pour la deuxième ( j'ai déja réussi à perdre le sujet...)

EDIT: je précises que la fonction E(x) est la fonction associant à tout réel x le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x. Elle permet en effet de trouver le reste d'un entier par une division euclidienne facilement.

[invite8f458b62]

algeam, Le truc c'est que moi je n'ai pas fait les "n parmi p"... J'ai demandé à mon prof et il m'a effectivement avoué que ça m'aurait aidé ^.^

Et sinon, j'ai fait exactement comme toi ! Enfin j'ai été gentil : j'ai écrit un mot à mon correcteur en disant "je suis désolé, j'ai beau me creuser la cervelle je sais pas comment démontrer que abc est maximal pour a = b = c = 1/3"
J'ai essayé en dérivant, mais avec 3 variables... j'ai essayé par l'absurde, en substituant, et autre fantaisies... (j'ai notamment réussi à prouver que n² > (n+a)(n-a) mais j'ai pas trop réussi à relier ça avec

Quelqu'un saurait comment montrer abc maximal pour a = b = c sachant que a + b + c = 1 et qu'ils appartiennent tous trois à [0 ; 1] ?


et pour ce qui est de celui de 2009, c'est vrai qu'il n'est pas mariole, mais le truc des dés à 20 faces, j'adore ! De toute façon je pense que spontanément, on considère que celui qu'on a fait "c'était le pire de tous", c'est aussi ça un concours général... =P

[mx6]

Quelqu'un saurait comment montrer abc maximal pour a = b = c sachant que a + b + c = 1 et qu'ils appartiennent tous trois à [0 ; 1] ?

.

On écrit cette inégalité pour puis et enfin et , et on additionne le tout on aboutit à : .



.

On vient de montrer que : .

Mais ici, , d'où et comme , soit .

Je viens de faire une démonstration naturelle, je ne suis pas un accro des maths, car y en a qui montreront ça en une ligne en utilisant des inégalités connues, mais perso ça n'a jamais été ma tasse de thé ! Et c'est le cas pour la plupart des candidats du CG, enfin disons que les lauréats sont souvent ceux qui font des stages d'olympiades et des maths à gogo depuis leur jeune âge !

[mx6]

EDIT : Ca aurait été direct avec l'inégalité arithmético-géométrique C'est la plus célèbre !
Ce que j'ai posté la haut, c'est la démonstration au cas n=3 ! Mais fallait la connaître !

(j'ai notamment réussi à prouver que n² > (n+a)(n-a) mais j'ai pas trop réussi à relier ça avec ..

Ah bon ?

[invite8f458b62]

mx6, Merci pour ta démonstration, qui s'avère être claire quand on se penche dessus
C'est vrai que c'était tout à fait faisable à démontrer, je regrette de ne pas y avoir pensé ; j'avais songé à (a+b+c)³ mais je n'avais pas fait le lien aussi bien que toi avec 1/27 ^.^

Bien joué

Sinon, j'ai regardé les sujets de 1990 et 2005, ils sont effectivement géniaux ! bien plus intéressants que ceux que j'avais fait jusqu'à présent !

[invite95c571c1]

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On écrit cette inégalité pour puis et enfin et , et on additionne le tout on aboutit à : .



.

On vient de montrer que : .

Mais ici, , d'où et comme , soit .

Je viens de faire une démonstration naturelle, je ne suis pas un accro des maths, car y en a qui montreront ça en une ligne en utilisant des inégalités connues, mais perso ça n'a jamais été ma tasse de thé ! Et c'est le cas pour la plupart des candidats du CG, enfin disons que les lauréats sont souvent ceux qui font des stages d'olympiades et des maths à gogo depuis leur jeune âge !

Jolie démonstration

[invite6f3aff3b]

Jolie démonstration

Quelques-uns de mes élèves ont passé le concours !
Cette méthode est très élégante mais peut , malheureusement , avoir été "bachottée" par des élèves bien préparés^^
Je leur ai conseillé moins simple mais plus "accessible" pour un très bon élève de Province :
signe de abc - 27 avec c = 1 -a - b , expression du second degré avec delta "paramétré" en a ou b ( comme au bon vieux temps)
on voit que delta est strictement négatif puis que l'expression du second degré en a ( ou b) est négative avec le coefficient de a^2 ou b^2.
Pour (an -bn) croissante , une idée simple ?
Ca ne me paraît pas évident , même avec des fonctions !