Angles d'un triangle

[invited406b32e]

Bonjour...

Est-ce que quelqu'un peut m'aider avec cette question svp ?

"Dans le triangle ABC, on a BC = a , AC = b , AB = c et
a < ½(b+c) . Démontrer que <BAC < ½(<ABC + <ACB) . "


Merci !
-----

[CompositeStructure]

Bonsoir,

Désolé mais je ne comprends pas le signe devant ABC dans ton expression : ½(<ABC + <ACB)

Cordialement

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

J'opte pour "l'angle BAC inférieur à la moyenne des deux autres angles".

Duke.

[CompositeStructure]

Je ne sais pas vraiment si je pars du bon sens, j'ai voulu faire intervenir les produits scalaires pour faire apparaître les normes et les angles.

Si cela peut t'aider.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Eurole]

..."Dans le triangle ABC, on a BC = a , AC = b , AB = c et a < ½(b+c) . Démontrer que <BAC < ½(<ABC + <ACB) . "!

Bonjour à tous.
Un dessin du triangle et de son cercle circonscrit devrait permettre de travailler.
newton007 peut-il nous le faire ici ?

[leg]

on dirait que c'est élémentaire:
prenons par exemple un triangle rectangle à mesure entière.
x<y<Z où z est lypothénuse
x/z < y/z
la moitié de y+z est > x
la moitié des deux plus grands angles est > au plus petit angle ...
en prenant seulement (45+90)/2 c'est > 45.

[NicoEnac]

on dirait que c'est élémentaire:
prenons par exemple un triangle rectangle à mesure entière.
x<y<Z où z est lypothénuse
x/z < y/z
la moitié de y+z est > x
la moitié des deux plus grands angles est > au plus petit angle ...
en prenant seulement (45+90)/2 c'est > 45.

Génial ! Une preuve par un exemple...

[Eurole]

on dirait que c'est élémentaire:
prenons par exemple un triangle rectangle à mesure entière.
x<y<Z où z est lypothénuse
x/z < y/z
la moitié de y+z est > x
la moitié des deux plus grands angles est > au plus petit angle ...
en prenant seulement (45+90)/2 c'est > 45.

Bonjour.
C'est sans doute élémentaire (au sens euclidien)
Mais rien ne dit dans le problème que a < b < c ou a < c < b

Je chercherais plutôt du côté de la loi des sinus et des angles inscrits.

[leg]

Bonjour.
C'est sans doute élémentaire (au sens euclidien)
Mais rien ne dit dans le problème que a < b < c ou a < c < b

que a soit < b < c ou <c <b cela ne change pas grand chose puisque
a est < à la moitié de b+c , ce qui il me semble indique aussi que l'angle A est le plus petit des 3 quelque soit le triangle ("exception équilatéral").
la somme des trois angles = 180 en partant de l'égalité 60+60+60 et où la moitie de 120 = 60 ce qui est contraire à la supposition l'angle A doit être < à cette moitié , en descendant de 1+1 soit - 2 pour A on aura toujours A < 1/2 (C+B)..non?

[Eurole]

que a soit < b < c ou <c <b cela ne change pas grand chose puisque a est < à la moitié de b+c

OK.

ce qui il me semble indique aussi que l'angle A est le plus petit des 3 quelque soit le triangle

Non, mais ne n'ai pas la formule.

Supposons ABC circonscrit dans un cercle de rayon r = 0.5
L’angle A vaut 10°
==> a = 2r.sinA = 0,1736

Supposons B = 5°
==> b = 2r.sinB = 0,0872
C = 165°
==> c = 2r.sinC = 0.2588
On est à peu près à la limite (de quoi ?).

[leg]

OK.


Non, mais ne n'ai pas la formule.

Supposons ABC circonscrit dans un cercle de rayon r = 0.5
L’angle A vaut 10°
==> a = 2r.sinA = 0,1736

Supposons B = 5°
==> b = 2r.sinB = 0,0872
C = 165°
==> c = 2r.sinC = 0.2588
On est à peu près à la limite (de quoi ?).

tout à fait , et on peut effectivement en trouvé d'autre.. c'est pour cela que je disais élémentaire au premier coup d'oeil

et que la démonstration doit être dans ce cas, rigoureuse. si on ne suppose pas des angles, exprimé par des entiers naturels....