Produit scalaire

[invite3c23540d]

Bonjour à tous, Je suis en première S.

Dans le plan muni d'un repère orthonormal (O,i,j), on considère les points A(-2,1) B(4,-2) et K(2,-1).
On note C l'ensemble des points M(x,y) du plan tels que : x²+y²+2x-6y-15=0

1.Donner la nature et les caractéristiques de l'ensemble C.

2.Vérifier que K est un point de C.

3.Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB).

4.Calculer les coordonnées des points d'intersection I et J de la droite (AB) avec l'ensemble C.

5. Déterminer une équation de la tangente à C au point K.

Réponses :

1.Je trouve (x+1)²+(y-3)²=25
Donc centre O (-1,3) et rayon racine25 ou 5.

2.Je remplace j'obtiens bien 25=25.

3.Ici je n'arrive pas, je ne sais pas comment faire. Ou mise à part lecture graphique y=1/-2x mais je ne pense pas que cela soit ça.

4.Je ne sais pas comment faire.

5.Tk tengante à C en K
Mappartient à Tk donc KM perpendiculaire à KO donc KM.KO=0
M(x,y) KM(x-2,y+1) et KO(-3,4)
Tk: -3(x-2)-4(y+1)=0
Tk: y=-3/4x+1/2



Merci de votre aide, et de votre soutien.
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[shokin]

3.Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB).

(...)

y=1/-2x

Dans une équation cartésienne, il y a 0 d'un côté, puis tout le reste de l'autre côté (genre ax + by = 0). Il te reste donc à terminer de manipuler cette équation y = -1/2x.

4.Calculer les coordonnées des points d'intersection I et J de la droite (AB) avec l'ensemble C.

Quand tu dois trouver les points d'intersection de deux lieux géométriques, tu peux notamment résoudre le système d'équations. En l'occurrence, l'équation de ton cercle et l'équation de ta droite.



Shokin

[invite3c23540d]

Merci beaucoup.

Donc pour la 3. ça fait : 0=y+1/2x ?

Si c'est cela alors pour la 4. ça fait : y+1/2x=x²+y²+2x-6y-15 ?

[shokin]

Pour le 3, exactement : mais tu peux remplacer

0=y+(1/2)x

par

0 = x + 2y (amplifier l'équation par 2 ; on évite les fractions si possible car moins pratiques)



Pour le 4, tu dois résoudre le système d'équations :

0 = x + 2y
x² + y² + 2x - 6y - 15



Shokin

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3c23540d]

D'accord. Merci.

Pour le 4) je donc dois faire par substitution ou par comparaison ou faire l'un = l'autre ?

[shokin]

Oups, pour l'erreur :

Pour le 4, tu dois résoudre le système d'équations :

0 = x + 2y
x² + y² + 2x - 6y - 15 = 0



Par substitution, ce sera plus simple. x = -2y.



Shokin

[invite3c23540d]

D'acc merci.

Donc ça fait : (-2y)²+y²+2(-2y)-6y-15=0
-4y²+y²-4y-6y-15=0
-3y²-10y-15=0

Je vois pas comment je peux continuer avec ce carré ?

[invite3c23540d]

D'acc merci.

Donc ça fait : -2y²+y²+2(-2y)-6y-15=0
-y²+y²-4y-6y-15=0
-y²-10y-15=0

Je vois pas comment je peux continuer avec ce carré ?

[shokin]

Corrige juste :

(-2y)²+y²+2(-2y)-6y-15=0

4y² + y² - 4y - 6y - 15 = 0

5y² - 10y - 15 = 0

y² - 2y - 3 = 0

Sais-tu ensuite résoudre cette équation du second degré ?



Shokin

[invite3c23540d]

Ah oui ^^.

Eh bien avec delta : = b²-4ac=4-4*1*-3=16
donc x1=-1 et x2=3
Donc là j'ai les coordonnées d'un point mais la question est les coordonnées des points d'intersections I et J ?

Merci.

[shokin]

Ah oui ^^.

Eh bien avec delta : = b²-4ac=4-4*1*-3=16
donc x1=-1 et x2=3
Donc là j'ai les coordonnées d'un point mais la question est les coordonnées des points d'intersections I et J ?

Merci.

En fait, c'est y1 = -1 et y2 = 3.
A l'aide de la première équation 0 = x + 2y, tu trouves alors x1 et x2.

Tu auras alors deux points d'intersections (x1;y1) et (x2;y2).

Truc : Quand tu t'attaques à un problème de mathématique, essaie de te représenter les formes (surtout si c'est visuel comme la géométrie, les vecteurs, les graphiques). Exemple : les points d'intersection entre une droite et un cercle... ouais... elle peut en avoir 2 (sécante), 1 (tangente) ou 0 (disjointe)... à l'attaque !



Shokin

[invite3c23540d]

^^ Coriace cette question comparer aux autres

Je trouve donc les coordonnées I(2;-1) et J(-6;3).

Merci de votre aide